Номер 731, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Решение задач. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 731, страница 171.

731. Представьте в виде квадрата двучлена:

a) $4x^2-12x+9={\left(2x-3\right)}^2$

б) $1-14a+49a^2={\left(1-7a\right)}^2$

в) $25+4c^2+20c={\left(5+2c\right)}^2$

а)

Чтобы представить выражение $4x^2 - 12x + 9$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении первый член $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$, а третий член $9$ — как $3^2$. Таким образом, мы можем предположить, что $a = 2x$ и $b = 3$.

Проверим, равен ли средний член $-12x$ удвоенному произведению $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot (2x) \cdot 3 = -12x$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение является полным квадратом разности $(2x - 3)$.

Следовательно: $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Ответ: $(2x - 3)^2$.

б)

Рассмотрим выражение $1 - 14a + 49a^2$. Для его преобразования также используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь первый член $1$ можно представить как $1^2$, а третий член $49a^2$ — как $(7a)^2$. Положим $a = 1$ и $b = 7a$.

Проверим средний член $-14a$. Он должен быть равен $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot 1 \cdot (7a) = -14a$.

Условие выполняется, значит, выражение является полным квадратом разности $(1 - 7a)$.

Таким образом: $1 - 14a + 49a^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (7a) + (7a)^2 = (1 - 7a)^2$.

Ответ: $(1 - 7a)^2$.

в)

Рассмотрим выражение $25 + 4c^2 + 20c$. Переставим слагаемые для удобства, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $4c^2 + 20c + 25$.

В данном случае будем использовать формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $4c^2$ является квадратом от $2c$, то есть $a = 2c$. Третий член $25$ является квадратом от $5$, то есть $b = 5$.

Проверим, соответствует ли средний член $20c$ удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (2c) \cdot 5 = 20c$.

Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом суммы $(2c + 5)$.

Значит: $25 + 4c^2 + 20c = 4c^2 + 20c + 25 = (2c)^2 + 2 \cdot (2c) \cdot 5 + 5^2 = (2c + 5)^2$.

Ответ: $(2c + 5)^2$.