Номер 727, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Решение задач. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 727, страница 171.

727. Найти все двузначные числа, которые в два раза больше суммы своих цифр.

Пусть х - цифра десятков, у - цифра единиц двузначного числа. Тогда $\overline{xy}=10x+y$ - двузначное число. Зная, что все двузначные числа должны быть в 2 раза больше суммы своих цифр, составим уравнение

10x+y=2(x+y)

10x+y=2x+2y

10x-2x=2y-y

y=8x

Если x=1, то y=8; искомое число: 18;

если x=2, то y=16 - это не цифра

Ответ: 18

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Так как число двузначное, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — любой цифрой от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

Согласно условию задачи, само число в два раза больше суммы его цифр. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 2(a + b)$

Раскроем скобки и упростим уравнение, чтобы найти связь между $a$ и $b$: $10a + b = 2a + 2b$ $10a - 2a = 2b - b$ $8a = b$

Теперь нам нужно найти все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие уравнению $b = 8a$ и ограничениям $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$. Проверим возможные значения для $a$:

1. Если $a = 1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Пара $(1, 8)$ подходит, так как $a=1$ и $b=8$ являются допустимыми цифрами. Это дает нам число 18.

2. Если $a = 2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это значение для $b$ не является цифрой (так как $16 > 9$), поэтому это решение не подходит.

Для любых значений $a > 1$, значение $b$ будет еще больше, и, следовательно, не будет являться цифрой.

Таким образом, существует только одно двузначное число, удовлетворяющее условию задачи. Это число 18.

Проверка: Сумма цифр числа 18 равна $1+8=9$. Удвоенная сумма равна $2 \cdot 9 = 18$. Число 18 равно 18, что соответствует условию.

Ответ: 18.