Номер 724, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Решение задач. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 724, страница 171.

724. В кошельке лежало 92 рубля мелочи — пятирублёвые и двухрублёвые монеты. Сколько пятирублёвых и сколько двухрублёвых монет было в кошельке, если всего было 28 монет?

Пусть x пятирублёвых монет и у - двухрублёвых монет летало в кошельке.

Зная, что всего было 92 рубля и 28 монет, составим и решим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 5x+2y=92\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 5·\left(28-y\right)+2y=92\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 140-5y+2y=92\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 140-3y=92\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 3y=140-92\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 3y=48\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=16\\ x=28-16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=16\\ x=12\end{array}\right.$

Ответ: 12 монет пятирублёвых и 16 монет двухрублёвых

Для решения этой задачи введём переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество пятирублёвых монет, а $y$ — количество двухрублёвых монет.

Поскольку общее количество монет равно 28, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 28$

Общая сумма денег в кошельке составляет 92 рубля. Стоимость всех пятирублёвых монет — $5x$ рублей, а всех двухрублёвых — $2y$ рублей. Это даёт нам второе уравнение:

$5x + 2y = 92$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 28 \\ 5x + 2y = 92 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 28 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 2(28 - x) = 92$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$5x + 56 - 2x = 92$

$3x + 56 = 92$

$3x = 92 - 56$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Итак, в кошельке было 12 пятирублёвых монет.

Чтобы найти количество двухрублёвых монет, подставим значение $x$ в выражение $y = 28 - x$:

$y = 28 - 12$

$y = 16$

Следовательно, в кошельке было 16 двухрублёвых монет.

Проверка:

Проверим общее количество монет: $12 + 16 = 28$ монет. Это соответствует условию.

Проверим общую сумму денег: $12 \times 5 \text{ руб.} + 16 \times 2 \text{ руб.} = 60 + 32 = 92$ рубля. Это также соответствует условию.

Решение найдено верно.

Ответ: в кошельке было 12 пятирублёвых и 16 двухрублёвых монет.