Номер 730, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Решение задач. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 730, страница 171.

730. В спортзале в двух ящиках было 120 мячей. В первый ящик положили ещё 40% от числа мячей, которые там были, а из второго вынули 10% того, что было. После этого в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором. Сколько мячей было в каждом ящике первоначально?

Пусть х мячей было в первом ящике, а у мячей - во втором языке. По условию x+y=120. Зная, что в первый ящик положили 40% от x, а из второго вынули 10% от у и тогда в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором, можно составить уравнение:

x+0,4x=y-0,1y+30

Получим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\ 1,4x=0,94+30\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 1,4\left(120-y\right)=0,9y+30\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 168-1,44=0,9y+30\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 168-30=0,9y+1,4y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=120-y\\ 2,3y=138\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=60\\ x=120-60\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=60\\ x=60\end{array}\right.$

Ответ: 60 и 60 мячей

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальное количество мячей в первом ящике, а $y$ — первоначальное количество мячей во втором ящике.

По условию, всего в двух ящиках было 120 мячей. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 120$

Затем в первый ящик добавили 40% от его содержимого. Количество мячей в нем стало:

$x + 0.40x = 1.4x$

Из второго ящика убрали 10% от его содержимого. Количество мячей в нем стало:

$y - 0.10y = 0.9y$

После этих изменений в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором. Это дает нам второе уравнение:

$1.4x = 0.9y + 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 120 \\ 1.4x = 0.9y + 30 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 120 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.4x = 0.9(120 - x) + 30$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$1.4x = 108 - 0.9x + 30$

$1.4x = 138 - 0.9x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$1.4x + 0.9x = 138$

$2.3x = 138$

$x = \frac{138}{2.3} = \frac{1380}{23} = 60$

Итак, в первом ящике первоначально было 60 мячей.

Теперь найдем первоначальное количество мячей во втором ящике:

$y = 120 - x = 120 - 60 = 60$

Во втором ящике первоначально также было 60 мячей.

Проверка:

После изменений в первом ящике стало $1.4 \times 60 = 84$ мяча.

После изменений во втором ящике стало $0.9 \times 60 = 54$ мяча.

Разница между количеством мячей в первом и втором ящиках: $84 - 54 = 30$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в каждом ящике было по 60 мячей.