Номер 732, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Решение задач. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 732, страница 171.

732. Найдите значение выражения:

a) $\left(20-3\right)\left(20+3\right)=20^2-3^2=400-9=391(20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391$

б) $\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=10^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=100-\frac{1}{4}=99\frac{3}{4}$

в) $$\begin{gathered} 102·98=\left(100+2\right)\left(100-2\right)=100^2-2^2=102\; \backslash cdot\; 98\; =\; (100+2)(100-2)=100^2-2^2= \\ =10000-4=9996=\; 10000-4=9996 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} 8,6·7,4=\left(8+0,6\right)\left(8-0,6\right)=8^2-0,6^2=8,6\; \backslash cdot\; 7,4\; =\; (8+0,6)(8-0,6)=8^2-0,6^2= \\ =64-0,36=63,64=\; 64-0,36\; =\; 63,64 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} 4\frac{3}{4}·5\frac{1}{4}=\left(5+\frac{1}{4}\right)\left(5-\frac{1}{4}\right)=5^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2= \\ =25-\frac{1}{16}=24\frac{15}{16} \end{gathered}$$

e) $$\begin{gathered} 2,7·3,3=\left(3+0,3\right)\left(3-0,3\right)=3^2-0,3^2= \\ =9-0,09=8,91 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $(20 - 3)(20 + 3)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = 20$ и $b = 3$.
Подставим значения в формулу:
$(20 - 3)(20 + 3) = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391$.
Ответ: 391.

б) Для выражения $(10 + \frac{1}{2})(10 - \frac{1}{2})$ также используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 10$ и $b = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения:
$(10 + \frac{1}{2})(10 - \frac{1}{2}) = 10^2 - (\frac{1}{2})^2 = 100 - \frac{1}{4} = 99\frac{3}{4}$.
Ответ: $99\frac{3}{4}$.

в) Чтобы найти произведение $102 \cdot 98$, представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа, чтобы можно было применить формулу разности квадратов.
$102 = 100 + 2$
$98 = 100 - 2$
Тогда произведение можно записать как $(100 + 2)(100 - 2)$.
Применим формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 100$ и $b = 2$:
$(100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.
Ответ: 9996.

г) Для вычисления произведения $8,6 \cdot 7,4$ представим каждый множитель через их среднее арифметическое.
Среднее арифметическое: $\frac{8,6 + 7,4}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Теперь представим множители в виде суммы и разности с числом 8:
$8,6 = 8 + 0,6$
$7,4 = 8 - 0,6$
Произведение принимает вид $(8 + 0,6)(8 - 0,6)$, что позволяет использовать формулу разности квадратов:
$(8 + 0,6)(8 - 0,6) = 8^2 - (0,6)^2 = 64 - 0,36 = 63,64$.
Ответ: 63,64.

д) Чтобы найти произведение $4\frac{3}{4} \cdot 5\frac{1}{4}$, найдем среднее арифметическое этих чисел.
Среднее арифметическое: $\frac{4\frac{3}{4} + 5\frac{1}{4}}{2} = \frac{9 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Теперь представим множители через это число:
$5\frac{1}{4} = 5 + \frac{1}{4}$
$4\frac{3}{4} = 5 - \frac{1}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$(5 + \frac{1}{4})(5 - \frac{1}{4}) = 5^2 - (\frac{1}{4})^2 = 25 - \frac{1}{16} = 24\frac{15}{16}$.
Ответ: $24\frac{15}{16}$.

е) Для вычисления $2,7 \cdot 3,3$ найдем среднее арифметическое множителей.
Среднее арифметическое: $\frac{2,7 + 3,3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Представим множители в виде суммы и разности с числом 3:
$3,3 = 3 + 0,3$
$2,7 = 3 - 0,3$
Применим формулу разности квадратов:
$(3 + 0,3)(3 - 0,3) = 3^2 - (0,3)^2 = 9 - 0,09 = 8,91$.
Ответ: 8,91.