Номер 729, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Решение задач. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 729, страница 171.

729. Три гантели и две гири весят 47 кг. Найдите, сколько весит гиря и сколько — гантель, если известно, что три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг.

Пусть х кг - масса гантели, а у кг - масса гири. По условию задачи составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=47\\ 3y=6x+18 /:3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+2y=47\\ y=2x+6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x+2\left(2x+6\right)=47\\ y=2x+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+4x+12=47\\ y=2x+6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7x=35\\ y=2x+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2·5+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=16\end{array}\right.$

Ответ: 16кг и 5кг

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это вес одной гантели в килограммах, а $y$ — вес одной гири в килограммах.

Согласно первому условию задачи, "три гантели и две гири весят 47 кг", мы можем составить первое уравнение:
$3x + 2y = 47$

Из второго условия, "три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг", мы получаем второе уравнение. Это означает, что если из веса трех гирь вычесть вес шести гантелей, получится 18 кг:
$3y - 6x = 18$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 3x + 2y = 47 \\ 3y - 6x = 18 \end{cases}$

Для удобства решения, упростим второе уравнение, разделив все его части на 3:
$y - 2x = 6$
Отсюда можно выразить $y$:
$y = 2x + 6$

Теперь используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$3x + 2(2x + 6) = 47$

Решим полученное уравнение, чтобы найти вес гантели ($x$):
$3x + 4x + 12 = 47$
$7x + 12 = 47$
$7x = 47 - 12$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$
Итак, вес одной гантели равен 5 кг.

Теперь найдем вес гири ($y$), подставив найденное значение $x = 5$ в выражение $y = 2x + 6$:
$y = 2 \cdot 5 + 6$
$y = 10 + 6$
$y = 16$
Следовательно, вес одной гири равен 16 кг.

Проверка:
1. Проверим общее условие веса: 3 гантели и 2 гири весят $3 \cdot 5 \text{ кг} + 2 \cdot 16 \text{ кг} = 15 \text{ кг} + 32 \text{ кг} = 47$ кг. Условие выполняется.
2. Проверим условие разницы в весе: 3 гири весят $3 \cdot 16 = 48$ кг, а 6 гантелей весят $6 \cdot 5 = 30$ кг. Разница составляет $48 \text{ кг} - 30 \text{ кг} = 18$ кг. Это условие также выполняется.

Ответ: гиря весит 16 кг, гантель весит 5 кг.