Номер 2, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 171.

2. Можно ли, не решая систему линейных уравнений, сказать, сколько она имеет решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными может быть представлена в виде

$\left\{\begin{array}{l}y=k_{1}x+b_1,\\ y=k_{2}x+b_2.\end{array}\right.$

Если $k_1\ne k_2,$ то прямые пересекаются, и система имеет единственное решение; если $k_1\ne k_2,$ но $b_1\ne b_2,$ то прямые параллельны и система не имеет решений; если $k_1\ne k_2,$ и $b_1\ne b_2,$ то прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений (это решения уравнения системы).

Сделанный вывод позволяет, рассмотрев уравнения данной системы, не решая ее, сказать, имеет ли эта систем решение, и если имеет, то сколько.

Да, можно. Количество решений системы линейных уравнений можно определить, не решая ее, а проанализировав соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Этот метод основан на геометрической интерпретации системы: каждое линейное уравнение с двумя переменными задает прямую на координатной плоскости, а количество решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых.

Рассмотрим стандартную систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Возможны три случая:

1. Система имеет единственное решение

Это происходит, когда прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке. Аналитически это означает, что их угловые коэффициенты не равны. Условие для этого выражается через коэффициенты уравнений следующим образом:

$$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$

Если один из знаменателей равен нулю (например, $a_2 = 0$), то для проверки условия его можно записать в виде $a_1b_2 \neq a_2b_1$.

Ответ: система имеет одно решение, если отношения коэффициентов при соответствующих переменных не равны.

2. Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые параллельны, но не совпадают. В этом случае у них одинаковые угловые коэффициенты, но разные сдвиги по оси y. Условие для этого случая:

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$

Равенство отношений коэффициентов при $x$ и $y$ означает, что прямые параллельны. Неравенство с отношением свободных членов означает, что прямые не совпадают.

Ответ: система не имеет решений, если отношения коэффициентов при переменных равны между собой, но не равны отношению свободных членов.

3. Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть прямые совпадают. В этом случае коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого. Условие для этого:

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$

Это означает, что второе уравнение можно получить из первого умножением на некоторое число, и наоборот. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, если все три отношения (коэффициентов при $x$, коэффициентов при $y$ и свободных членов) равны между собой.