Номер 736, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 736, страница 174.

736. Решите уравнение с параметром b:

2x² – 4x + b = 0.

$$\begin{gathered} 2x^2-4x+b=0 \\ D={\left(-4\right)}^2-4·2·b=16-8b \end{gathered}$$

1) Если , то корней нет

; $8b>168b\; >\; 16$; $b>2b\; >\; 2$

при $b>2b\; >\; 2$; корней нет

2) Если $D=0D\; =\; 0$, то один корень

$$\begin{gathered} 16-8b=016\; -\; 8b\; =\; 0 \\ 8b=168b\; =\; 16 \\ b=2b\; =\; 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{при} b=2;& 2x^2-4x+2=0 /:2\\ & x^2-2x+1=0 \\ D=0 \\ x=\frac{2}{2}=1\end{array} \end{gathered}$$

3) $D>0D\; >\; 0$, два корня

$16-8b>016\; -\; 8b\; >\; 0$; ;

$$\begin{gathered} \begin{array}{cl}\text{при} b<2,& 2x^2-4x+b=0\\ & D={\left(4\right)}^2-4·2b=16-8b \\ x=\frac{4\pm \sqrt{16-8b}}{4} \\ x=\frac{4\pm \sqrt{4\left(4-2b\right)}}{4} \\ x=\frac{4\pm 2\sqrt{4-2b}}{4} \\ x=\frac{2\left(2\pm \sqrt{4-2b}\right)}{4} \\ x=\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $b>2b\; >\; 2$, корней нет;

при $b=2b\; =\; 2$; $x=1x\; =\; 1$;

при ; $x=\frac{2\pm \sqrt{4-2b}}{2}x\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{4\; -\; 2b\}\}\{2\}$

Данное уравнение $2x^2 - 4x + b = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Количество и значения его корней зависят от значения параметра $b$, которое определяет знак дискриминанта $D$.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + kx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = k^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=2$, $k=-4$ и $c=b$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot b = 16 - 8b$.

Рассмотрим три возможных случая в зависимости от знака дискриминанта.

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Найдем, при каких значениях $b$ это условие выполняется:

$16 - 8b < 0$

$16 < 8b$

$b > 2$

Таким образом, при $b > 2$ уравнение не имеет решений в действительных числах.

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня). Это условие выполняется при:

$16 - 8b = 0$

$16 = 8b$

$b = 2$

При $b=2$ корень находится по формуле $x = \frac{-k}{2a}$:

$x = \frac{-(-4)}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется при:

$16 - 8b > 0$

$16 > 8b$

$b < 2$

При $b < 2$ корни находятся по общей формуле $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 8b}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8b}}{4}$.

Упростим это выражение, вынеся общий множитель из-под корня:

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4(4 - 2b)}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{4 - 2b}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$.

Ответ: при $b > 2$ корней нет; при $b = 2$ уравнение имеет один корень $x = 1$; при $b < 2$ уравнение имеет два корня $x = 1 \pm \frac{\sqrt{4 - 2b}}{2}$.