Номер 739, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 739, страница 174.

739. Выясните, при каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение, и найдите это значение.

x² – ax + a – 3 = 0

$$\begin{gathered} x^2-ax+a-3=0 \\ {x}_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2 \\ {x}_1+x_2=a \\ {x}_1·x_2=a-3 \\ {a}^2-2\left(a-3\right)=a^2-2a+6=a^2-2a+1+5= \\ ={\left(a-1\right)}^2+5 \end{gathered}$$

при a=1; $x_1^2+x_2^2=5x\_1^2+x\_2^2\; =\; 5$

Ответ: при a=1; 5

Данное уравнение $x^2 - ax + a - 3 = 0$ является квадратным. Для того чтобы оно имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант:
$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 3) = a^2 - 4a + 12$.

Теперь исследуем знак выражения $a^2 - 4a + 12$. Это квадратичный трехчлен относительно $a$, его график — парабола с ветвями вверх. Найдем дискриминант этого трехчлена: $D_a = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 16 - 48 = -32$. Поскольку $D_a < 0$ и старший коэффициент (при $a^2$) положителен, трехчлен $a^2 - 4a + 12$ принимает только положительные значения при любом $a$. Следовательно, $D > 0$ для всех действительных $a$, и исходное уравнение всегда имеет два различных действительных корня.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения. Мы ищем наименьшее значение суммы их квадратов, то есть $x_1^2 + x_2^2$.

Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = a$.
Произведение корней: $x_1 x_2 = a - 3$.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета, чтобы получить зависимость суммы квадратов от параметра $a$:
$S(a) = (a)^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6$.

Задача сводится к нахождению наименьшего значения квадратичной функции $S(a) = a^2 - 2a + 6$. График этой функции — парабола с ветвями вверх. Свое наименьшее значение она принимает в вершине. Найдем абсциссу вершины параболы:
$a_{верш} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Таким образом, сумма квадратов корней принимает наименьшее значение при $a=1$.

Чтобы найти это наименьшее значение, подставим $a=1$ в функцию $S(a)$:
$S_{min} = S(1) = 1^2 - 2(1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5$.

Ответ: наименьшее значение суммы квадратов корней достигается при $a = 1$ и равно $5$.