Номер 738, страница 174 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Уравнения с параметром. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 738, страница 174.

738. При каких значениях параметра t имеет единственный корень уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}3x^2+tx+3=0 \\ D=t^2-4·3·3=t^2-36 \\ \begin{array}{cl}D=0;& t^2-36=0\\ & t^2=36 \\ t=\pm 6\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $t=\pm 6t=\backslash pm\; 6$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}2x^2-tx+50=0 \\ D={\left(-t\right)}^2-4·2·50=t^2-400 \\ \begin{array}{cl}D=0;& t^2-400=0\\ & t^2=400 \\ t=\pm 20\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: при $t=\pm 20t\; =\; \backslash pm\; 20$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}t{x}^2-6x+1=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·t·1=36-4t \\ \begin{array}{cl}D=0;& 36-4t=0\\ & 4t=36 \\ t=9\end{array} \end{gathered}$$

Если $t=0t=0$, то уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} -6x+1=0-6x+1=0 \\ -6x=-1-6x=-1 \\ x=\frac{1}{6}x=\backslash frac\{1\}\{6\} \end{gathered}$$

Ответ: при $t=0; t=9$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}t{x}^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·t·\left(-2\right)=1+8t \\ \begin{array}{cl}D=0;& 1+8t=0\\ & 8t=-1 \\ t=-\frac{1}{8}\end{array} \end{gathered}$$

Если $t=0t=0$, то уравнение примет вид:

$$\begin{gathered} x-2=0x-2=0 \\ x=2x=2 \end{gathered}$$

Ответ при $t=0; t=-\frac{1}{8}$

а) $3x^2 + tx + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что не равно нулю. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае коэффициенты: $a = 3$, $b = t$, $c = 3$.

Вычисляем дискриминант:

$D = t^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = t^2 - 36$.

Приравниваем дискриминант к нулю, чтобы найти значения параметра $t$, при которых уравнение имеет один корень:

$t^2 - 36 = 0$

$t^2 = 36$

$t = \pm\sqrt{36}$

$t_1 = 6$, $t_2 = -6$.

Ответ: при $t = -6$ и $t = 6$.

б) $2x^2 - tx + 50 = 0$

Это уравнение также является квадратным, так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (не равен нулю). Уравнение будет иметь единственный корень при условии, что дискриминант $D = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -t$, $c = 50$.

Вычисляем дискриминант:

$D = (-t)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = t^2 - 400$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$t^2 - 400 = 0$

$t^2 = 400$

$t = \pm\sqrt{400}$

$t_1 = 20$, $t_2 = -20$.

Ответ: при $t = -20$ и $t = 20$.

в) $tx^2 - 6x + 1 = 0$

В этом уравнении коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $t$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным, то есть $t \neq 0$.

В этом случае уравнение имеет единственный корень, если его дискриминант $D$ равен нулю. Коэффициенты: $a = t$, $b = -6$, $c = 1$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot t \cdot 1 = 36 - 4t$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$36 - 4t = 0$

$4t = 36$

$t = 9$.

Так как $t=9 \neq 0$, это значение является решением.

Случай 2: Уравнение является линейным, то есть коэффициент при $x^2$ равен нулю: $t = 0$.

Подставим $t = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 6x + 1 = 0$

$-6x + 1 = 0$

$-6x = -1$

$x = 1/6$.

При $t=0$ уравнение становится линейным и имеет один корень. Следовательно, $t=0$ также является решением.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем два значения параметра $t$.

Ответ: при $t = 0$ и $t = 9$.

г) $tx^2 + x - 2 = 0$

Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $t$, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным ($t \neq 0$).

Уравнение имеет единственный корень при $D = 0$. Коэффициенты: $a = t$, $b = 1$, $c = -2$.

$D = 1^2 - 4 \cdot t \cdot (-2) = 1 + 8t$.

Приравниваем дискриминант к нулю:

$1 + 8t = 0$

$8t = -1$

$t = -1/8$.

Это значение не равно нулю, поэтому является решением.

Случай 2: Уравнение является линейным ($t = 0$).

Подставим $t = 0$ в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 + x - 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x = 2$.

При $t=0$ уравнение становится линейным и имеет один корень. Значит, $t=0$ также является решением.

Объединяя результаты, получаем два значения параметра $t$.

Ответ: при $t = -1/8$ и $t = 0$.