Номер 3, страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 3, страница 171.

3. Какие существуют способы решения систем уравнений?

Графический и алгебраический (способ подстановки, способ сложения) способы решения систем уравнений.

Существует несколько основных способов решения систем уравнений. Выбор конкретного способа зависит от вида уравнений в системе, их сложности и количества переменных. Ниже приведены наиболее распространенные методы.

Графический способ

Этот метод заключается в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Координаты каждой точки пересечения графиков являются решением системы. Этот способ нагляден, но часто дает лишь приблизительное решение, особенно если координаты точек пересечения не являются целыми числами.

Пример:
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Для построения графиков выразим y в каждом уравнении:
1. $y = 5 - x$ (прямая линия)
2. $y = x - 1$ (прямая линия)
Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в одной точке с координатами (3; 2).

Ответ: (3; 2)

Способ подстановки

Алгоритм этого метода следующий:
1. Из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы.
3. Решают получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найденное значение переменной подставляют в выражение из пункта 1 и находят значение второй переменной.

Пример:
Рассмотрим ту же систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
1. Из второго уравнения выразим x: $x = 1 + y$.
2. Подставим это выражение в первое уравнение: $(1 + y) + y = 5$.
3. Решим полученное уравнение: $1 + 2y = 5 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$.
4. Теперь найдем x: $x = 1 + 2 = 3$.

Ответ: (3; 2)

Способ алгебраического сложения

Этот метод заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных. Иногда для этого требуется предварительно умножить одно или оба уравнения на некоторые числа так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (для сложения) или равными (для вычитания).

Пример:
Снова используем систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Коэффициенты при y уже являются противоположными числами (1 и -1). Поэтому мы можем сложить два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений, например, в первое: $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$.

Ответ: (3; 2)

Метод введения новой переменной

Этот метод применяется для более сложных, часто нелинейных систем, в которых присутствуют повторяющиеся выражения. Эти выражения заменяются новыми переменными, что упрощает систему до стандартного вида. После нахождения новых переменных производят обратную замену.

Пример:
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} \frac{1}{x-1} + \frac{2}{y+2} = 3 \\ \frac{3}{x-1} - \frac{1}{y+2} = 2 \end{cases} $
Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x-1}$ и $b = \frac{2}{y+2}$. Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 3a - b = 2 \end{cases} $
Решим эту простую линейную систему, например, методом подстановки. Из второго уравнения $b = 3a - 2$. Подставим в первое: $a + 2(3a-2) = 3 \Rightarrow a + 6a - 4 = 3 \Rightarrow 7a = 7 \Rightarrow a = 1$.
Тогда $b = 3(1) - 2 = 1$.
Теперь выполним обратную замену:
$a = 1 \Rightarrow \frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$.
$b = 1 \Rightarrow \frac{2}{y+2} = 1 \Rightarrow y+2 = 2 \Rightarrow y = 0$.

Ответ: (2; 0)

Матричные методы (метод Крамера, метод Гаусса)

Эти методы относятся к линейной алгебре и особенно эффективны для решения систем линейных уравнений с большим количеством переменных. Система уравнений представляется в виде матричного уравнения $AX=B$, где $A$ – матрица коэффициентов, $X$ – столбец неизвестных, $B$ – столбец свободных членов.

Пример представления в матричном виде для системы $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $:
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} $

• Метод Крамера использует определители матриц для нахождения каждой переменной по формуле $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$.
• Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) заключается в приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
• Метод обратной матрицы позволяет найти решение как $X = A^{-1}B$, где $A^{-1}$ – матрица, обратная матрице $A$.

Ответ: Эти методы предоставляют систематические алгоритмы для нахождения решения систем линейных уравнений, особенно эффективные для систем с большим числом переменных.