Страница 171 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

724. В кошельке лежало 92 рубля мелочи — пятирублёвые и двухрублёвые монеты. Сколько пятирублёвых и сколько двухрублёвых монет было в кошельке, если всего было 28 монет?

Пусть x пятирублёвых монет и у - двухрублёвых монет летало в кошельке.

Зная, что всего было 92 рубля и 28 монет, составим и решим систему уравнений

$\left\{\begin{array}{l}x+y=28\\ 5x+2y=92\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 5·\left(28-y\right)+2y=92\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 140-5y+2y=92\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 140-3y=92\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 3y=140-92\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=28-y\\ 3y=48\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=16\\ x=28-16\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=16\\ x=12\end{array}\right.$

Ответ: 12 монет пятирублёвых и 16 монет двухрублёвых

Для решения этой задачи введём переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ — количество пятирублёвых монет, а $y$ — количество двухрублёвых монет.

Поскольку общее количество монет равно 28, мы можем составить первое уравнение:

$x + y = 28$

Общая сумма денег в кошельке составляет 92 рубля. Стоимость всех пятирублёвых монет — $5x$ рублей, а всех двухрублёвых — $2y$ рублей. Это даёт нам второе уравнение:

$5x + 2y = 92$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 28 \\ 5x + 2y = 92 \end{cases} $

Для решения системы выразим переменную $y$ из первого уравнения:

$y = 28 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$5x + 2(28 - x) = 92$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$5x + 56 - 2x = 92$

$3x + 56 = 92$

$3x = 92 - 56$

$3x = 36$

$x = \frac{36}{3}$

$x = 12$

Итак, в кошельке было 12 пятирублёвых монет.

Чтобы найти количество двухрублёвых монет, подставим значение $x$ в выражение $y = 28 - x$:

$y = 28 - 12$

$y = 16$

Следовательно, в кошельке было 16 двухрублёвых монет.

Проверка:

Проверим общее количество монет: $12 + 16 = 28$ монет. Это соответствует условию.

Проверим общую сумму денег: $12 \times 5 \text{ руб.} + 16 \times 2 \text{ руб.} = 60 + 32 = 92$ рубля. Это также соответствует условию.

Решение найдено верно.

Ответ: в кошельке было 12 пятирублёвых и 16 двухрублёвых монет.

725. В десяти лодках может разместиться 44 человека. Часть этих лодок пятиместные, а остальные — трёхместные. Сколько пятиместных лодок?

Пусть x пятиместных лодок, а у трёхместных лодок было. Зная, что в них может разместиться 44 человека, а всего было 10 лодок, составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=10\\ 5x+3y=44\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=10-y\\ 5·\left(10-y\right)+3y=44\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=10-y\\ 50-5y+3y=44\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=10-y\\ 50-2y=44\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=10-y\\ 2y=50-44\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=10-y\\ 2y=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=3\\ x=10-3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=3\\ x=7\end{array}\right.$

Ответ: 7 пятиместных лодок

Для решения этой задачи составим и решим систему уравнений. Обозначим количество пятиместных лодок через $x$, а количество трёхместных лодок — через $y$.

Шаг 1: Составление уравнений.

Из условия мы знаем, что всего лодок 10. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y = 10$

Также известно, что общая вместимость всех лодок составляет 44 человека. В $x$ пятиместных лодках может разместиться $5x$ человек, а в $y$ трёхместных — $3y$ человек. Это дает нам второе уравнение:

$5x + 3y = 44$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$x + y = 10$
$5x + 3y = 44$

Шаг 2: Решение системы уравнений.

Будем решать систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 10 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение вместо $y$:

$5x + 3(10 - x) = 44$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$5x + 30 - 3x = 44$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + 30 = 44$

Перенесем 30 в правую часть уравнения:

$2x = 44 - 30$

$2x = 14$

Найдем $x$:

$x = \frac{14}{2}$

$x = 7$

Итак, мы нашли, что количество пятиместных лодок равно 7.

Шаг 3: Проверка решения.

Если пятиместных лодок 7 ($x = 7$), то количество трёхместных лодок составляет $y = 10 - x = 10 - 7 = 3$.

Проверим, вместят ли 7 пятиместных и 3 трёхместные лодки 44 человека:

$7 \times 5 + 3 \times 3 = 35 + 9 = 44$

Результат совпадает с условием задачи, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 7.

726. Дачник проделал путь длиной 46 км. Он шёл 2 ч пешком и 3 ч ехал на велосипеде. На велосипеде он двигался в 2,4 раза быстрее, чем пешком. С какой скоростью дачник шёл и с какой скоростью он ехал на велосипеде?

Пусть х км/ч - скорость дачника пешком, а у км/ч - скорость дачника на велосипеде.

По условию задачи составим и решим стему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=46\\ y=2,4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x+3·\left(2,4x\right)=46\\ y=2,4x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2x+7,2x=46\\ y=2,4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}9,2x=46\\ y=2,4x\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2,4·5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=12\end{array}\right.$

Ответ: 5км/ч; 12км/ч

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — это скорость, с которой дачник шёл пешком.

Согласно условию, на велосипеде он двигался в 2,4 раза быстрее, следовательно, его скорость на велосипеде составляет $2,4x$ км/ч.

За 2 часа пешком дачник прошёл расстояние, которое вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. В данном случае это $S_{пешком} = x \cdot 2 = 2x$ км.

За 3 часа на велосипеде он проехал расстояние $S_{вело} = 2,4x \cdot 3 = 7,2x$ км.

Общий путь равен сумме расстояний, пройденных пешком и на велосипеде, и по условию составляет 46 км. Составим и решим уравнение:

$S_{пешком} + S_{вело} = 46$

$2x + 7,2x = 46$

Сложим слагаемые, содержащие переменную $x$:

$9,2x = 46$

Теперь найдём $x$, разделив обе части уравнения на 9,2:

$x = \frac{46}{9,2}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{460}{92}$

$x = 5$

Таким образом, скорость дачника пешком ($x$) равна 5 км/ч.

Теперь найдём скорость на велосипеде, подставив значение $x$ в выражение $2,4x$:

$2,4 \times 5 = 12$ км/ч.

Проверим полученные результаты:

Путь пешком: $5 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Путь на велосипеде: $12 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 36 \text{ км}$.

Общий путь: $10 \text{ км} + 36 \text{ км} = 46 \text{ км}$.

Все сходится с условием задачи.

Ответ: скорость, с которой дачник шёл, равна 5 км/ч, а скорость, с которой он ехал на велосипеде, — 12 км/ч.

727. Найти все двузначные числа, которые в два раза больше суммы своих цифр.

Пусть х - цифра десятков, у - цифра единиц двузначного числа. Тогда $\overline{xy}=10x+y$ - двузначное число. Зная, что все двузначные числа должны быть в 2 раза больше суммы своих цифр, составим уравнение

10x+y=2(x+y)

10x+y=2x+2y

10x-2x=2y-y

y=8x

Если x=1, то y=8; искомое число: 18;

если x=2, то y=16 - это не цифра

Ответ: 18

Пусть искомое двузначное число представлено в виде $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Так как число двузначное, то $a$ может быть любой цифрой от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — любой цифрой от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Сумма цифр этого числа равна $a + b$.

Согласно условию задачи, само число в два раза больше суммы его цифр. Это можно записать в виде уравнения: $10a + b = 2(a + b)$

Раскроем скобки и упростим уравнение, чтобы найти связь между $a$ и $b$: $10a + b = 2a + 2b$ $10a - 2a = 2b - b$ $8a = b$

Теперь нам нужно найти все пары цифр $(a, b)$, удовлетворяющие уравнению $b = 8a$ и ограничениям $1 \le a \le 9$ и $0 \le b \le 9$. Проверим возможные значения для $a$:

1. Если $a = 1$, то $b = 8 \cdot 1 = 8$. Пара $(1, 8)$ подходит, так как $a=1$ и $b=8$ являются допустимыми цифрами. Это дает нам число 18.

2. Если $a = 2$, то $b = 8 \cdot 2 = 16$. Это значение для $b$ не является цифрой (так как $16 > 9$), поэтому это решение не подходит.

Для любых значений $a > 1$, значение $b$ будет еще больше, и, следовательно, не будет являться цифрой.

Таким образом, существует только одно двузначное число, удовлетворяющее условию задачи. Это число 18.

Проверка: Сумма цифр числа 18 равна $1+8=9$. Удвоенная сумма равна $2 \cdot 9 = 18$. Число 18 равно 18, что соответствует условию.

Ответ: 18.

728. Периметр прямоугольника равен 66 см. Его длина в 10 раз больше ширины. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть х см - длина прямоугольника, y см - ширина прямоугольника. По условию задачи составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right)·2=66\\ x=10y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x+y=33\\ x=10y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}10y+y=33\\ x=10y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}11y=33\\ x=10y\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=3\\ x=30\end{array}\right.$

Ответ З см и 30 см

Пусть ширина прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию задачи, длина в 10 раз больше ширины, следовательно, длина прямоугольника равна $10x$ см.

Периметр прямоугольника ($P$) вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ – его длина и ширина. Нам известно, что периметр равен 66 см. Подставим наши выражения для длины и ширины в формулу и составим уравнение: $2(10x + x) = 66$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$. Сначала упростим выражение в скобках: $2(11x) = 66$

Затем умножим: $22x = 66$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 22: $x = \frac{66}{22}$ $x = 3$

Таким образом, мы нашли ширину прямоугольника – она равна 3 см. Теперь вычислим длину, зная, что она в 10 раз больше ширины: Длина = $10 \cdot x = 10 \cdot 3 = 30$ см.

Проверим: периметр $P = 2(30 + 3) = 2 \cdot 33 = 66$ см, что соответствует условию задачи.

Ответ: ширина прямоугольника равна 3 см, а длина равна 30 см.

729. Три гантели и две гири весят 47 кг. Найдите, сколько весит гиря и сколько — гантель, если известно, что три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг.

Пусть х кг - масса гантели, а у кг - масса гири. По условию задачи составим и решим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=47\\ 3y=6x+18 /:3\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+2y=47\\ y=2x+6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3x+2\left(2x+6\right)=47\\ y=2x+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x+4x+12=47\\ y=2x+6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7x=35\\ y=2x+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=2·5+6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=16\end{array}\right.$

Ответ: 16кг и 5кг

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это вес одной гантели в килограммах, а $y$ — вес одной гири в килограммах.

Согласно первому условию задачи, "три гантели и две гири весят 47 кг", мы можем составить первое уравнение:
$3x + 2y = 47$

Из второго условия, "три гири тяжелее шести гантелей на 18 кг", мы получаем второе уравнение. Это означает, что если из веса трех гирь вычесть вес шести гантелей, получится 18 кг:
$3y - 6x = 18$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} 3x + 2y = 47 \\ 3y - 6x = 18 \end{cases}$

Для удобства решения, упростим второе уравнение, разделив все его части на 3:
$y - 2x = 6$
Отсюда можно выразить $y$:
$y = 2x + 6$

Теперь используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$3x + 2(2x + 6) = 47$

Решим полученное уравнение, чтобы найти вес гантели ($x$):
$3x + 4x + 12 = 47$
$7x + 12 = 47$
$7x = 47 - 12$
$7x = 35$
$x = \frac{35}{7}$
$x = 5$
Итак, вес одной гантели равен 5 кг.

Теперь найдем вес гири ($y$), подставив найденное значение $x = 5$ в выражение $y = 2x + 6$:
$y = 2 \cdot 5 + 6$
$y = 10 + 6$
$y = 16$
Следовательно, вес одной гири равен 16 кг.

Проверка:
1. Проверим общее условие веса: 3 гантели и 2 гири весят $3 \cdot 5 \text{ кг} + 2 \cdot 16 \text{ кг} = 15 \text{ кг} + 32 \text{ кг} = 47$ кг. Условие выполняется.
2. Проверим условие разницы в весе: 3 гири весят $3 \cdot 16 = 48$ кг, а 6 гантелей весят $6 \cdot 5 = 30$ кг. Разница составляет $48 \text{ кг} - 30 \text{ кг} = 18$ кг. Это условие также выполняется.

Ответ: гиря весит 16 кг, гантель весит 5 кг.

730. В спортзале в двух ящиках было 120 мячей. В первый ящик положили ещё 40% от числа мячей, которые там были, а из второго вынули 10% того, что было. После этого в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором. Сколько мячей было в каждом ящике первоначально?

Пусть х мячей было в первом ящике, а у мячей - во втором языке. По условию x+y=120. Зная, что в первый ящик положили 40% от x, а из второго вынули 10% от у и тогда в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором, можно составить уравнение:

x+0,4x=y-0,1y+30

Получим систему уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=120\\ 1,4x=0,94+30\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 1,4\left(120-y\right)=0,9y+30\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 168-1,44=0,9y+30\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=120-y\\ 168-30=0,9y+1,4y\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=120-y\\ 2,3y=138\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=60\\ x=120-60\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=60\\ x=60\end{array}\right.$

Ответ: 60 и 60 мячей

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — первоначальное количество мячей в первом ящике, а $y$ — первоначальное количество мячей во втором ящике.

По условию, всего в двух ящиках было 120 мячей. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 120$

Затем в первый ящик добавили 40% от его содержимого. Количество мячей в нем стало:

$x + 0.40x = 1.4x$

Из второго ящика убрали 10% от его содержимого. Количество мячей в нем стало:

$y - 0.10y = 0.9y$

После этих изменений в первом ящике стало на 30 мячей больше, чем во втором. Это дает нам второе уравнение:

$1.4x = 0.9y + 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + y = 120 \\ 1.4x = 0.9y + 30 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 120 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.4x = 0.9(120 - x) + 30$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$1.4x = 108 - 0.9x + 30$

$1.4x = 138 - 0.9x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$1.4x + 0.9x = 138$

$2.3x = 138$

$x = \frac{138}{2.3} = \frac{1380}{23} = 60$

Итак, в первом ящике первоначально было 60 мячей.

Теперь найдем первоначальное количество мячей во втором ящике:

$y = 120 - x = 120 - 60 = 60$

Во втором ящике первоначально также было 60 мячей.

Проверка:

После изменений в первом ящике стало $1.4 \times 60 = 84$ мяча.

После изменений во втором ящике стало $0.9 \times 60 = 54$ мяча.

Разница между количеством мячей в первом и втором ящиках: $84 - 54 = 30$. Это соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в каждом ящике было по 60 мячей.

731. Представьте в виде квадрата двучлена:

a) $4x^2-12x+9={\left(2x-3\right)}^2$

б) $1-14a+49a^2={\left(1-7a\right)}^2$

в) $25+4c^2+20c={\left(5+2c\right)}^2$

а)

Чтобы представить выражение $4x^2 - 12x + 9$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В данном выражении первый член $4x^2$ можно представить как $(2x)^2$, а третий член $9$ — как $3^2$. Таким образом, мы можем предположить, что $a = 2x$ и $b = 3$.

Проверим, равен ли средний член $-12x$ удвоенному произведению $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot (2x) \cdot 3 = -12x$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение является полным квадратом разности $(2x - 3)$.

Следовательно: $4x^2 - 12x + 9 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = (2x - 3)^2$.

Ответ: $(2x - 3)^2$.

б)

Рассмотрим выражение $1 - 14a + 49a^2$. Для его преобразования также используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь первый член $1$ можно представить как $1^2$, а третий член $49a^2$ — как $(7a)^2$. Положим $a = 1$ и $b = 7a$.

Проверим средний член $-14a$. Он должен быть равен $-2ab$:

$-2ab = -2 \cdot 1 \cdot (7a) = -14a$.

Условие выполняется, значит, выражение является полным квадратом разности $(1 - 7a)$.

Таким образом: $1 - 14a + 49a^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot (7a) + (7a)^2 = (1 - 7a)^2$.

Ответ: $(1 - 7a)^2$.

в)

Рассмотрим выражение $25 + 4c^2 + 20c$. Переставим слагаемые для удобства, чтобы получить стандартный вид трехчлена: $4c^2 + 20c + 25$.

В данном случае будем использовать формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $4c^2$ является квадратом от $2c$, то есть $a = 2c$. Третий член $25$ является квадратом от $5$, то есть $b = 5$.

Проверим, соответствует ли средний член $20c$ удвоенному произведению $2ab$:

$2ab = 2 \cdot (2c) \cdot 5 = 20c$.

Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом суммы $(2c + 5)$.

Значит: $25 + 4c^2 + 20c = 4c^2 + 20c + 25 = (2c)^2 + 2 \cdot (2c) \cdot 5 + 5^2 = (2c + 5)^2$.

Ответ: $(2c + 5)^2$.

732. Найдите значение выражения:

a) $\left(20-3\right)\left(20+3\right)=20^2-3^2=400-9=391(20-3)(20+3)=20^2-3^2=400-9=391$

б) $\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=10^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=100-\frac{1}{4}=99\frac{3}{4}$

в) $$\begin{gathered} 102·98=\left(100+2\right)\left(100-2\right)=100^2-2^2=102\; \backslash cdot\; 98\; =\; (100+2)(100-2)=100^2-2^2= \\ =10000-4=9996=\; 10000-4=9996 \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} 8,6·7,4=\left(8+0,6\right)\left(8-0,6\right)=8^2-0,6^2=8,6\; \backslash cdot\; 7,4\; =\; (8+0,6)(8-0,6)=8^2-0,6^2= \\ =64-0,36=63,64=\; 64-0,36\; =\; 63,64 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} 4\frac{3}{4}·5\frac{1}{4}=\left(5+\frac{1}{4}\right)\left(5-\frac{1}{4}\right)=5^2-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2= \\ =25-\frac{1}{16}=24\frac{15}{16} \end{gathered}$$

e) $$\begin{gathered} 2,7·3,3=\left(3+0,3\right)\left(3-0,3\right)=3^2-0,3^2= \\ =9-0,09=8,91 \end{gathered}$$

а) Для вычисления значения выражения $(20 - 3)(20 + 3)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно разностью квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В данном случае $a = 20$ и $b = 3$.
Подставим значения в формулу:
$(20 - 3)(20 + 3) = 20^2 - 3^2 = 400 - 9 = 391$.
Ответ: 391.

б) Для выражения $(10 + \frac{1}{2})(10 - \frac{1}{2})$ также используем формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
Здесь $a = 10$ и $b = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения:
$(10 + \frac{1}{2})(10 - \frac{1}{2}) = 10^2 - (\frac{1}{2})^2 = 100 - \frac{1}{4} = 99\frac{3}{4}$.
Ответ: $99\frac{3}{4}$.

в) Чтобы найти произведение $102 \cdot 98$, представим множители в виде суммы и разности одного и того же числа, чтобы можно было применить формулу разности квадратов.
$102 = 100 + 2$
$98 = 100 - 2$
Тогда произведение можно записать как $(100 + 2)(100 - 2)$.
Применим формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 100$ и $b = 2$:
$(100 + 2)(100 - 2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.
Ответ: 9996.

г) Для вычисления произведения $8,6 \cdot 7,4$ представим каждый множитель через их среднее арифметическое.
Среднее арифметическое: $\frac{8,6 + 7,4}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
Теперь представим множители в виде суммы и разности с числом 8:
$8,6 = 8 + 0,6$
$7,4 = 8 - 0,6$
Произведение принимает вид $(8 + 0,6)(8 - 0,6)$, что позволяет использовать формулу разности квадратов:
$(8 + 0,6)(8 - 0,6) = 8^2 - (0,6)^2 = 64 - 0,36 = 63,64$.
Ответ: 63,64.

д) Чтобы найти произведение $4\frac{3}{4} \cdot 5\frac{1}{4}$, найдем среднее арифметическое этих чисел.
Среднее арифметическое: $\frac{4\frac{3}{4} + 5\frac{1}{4}}{2} = \frac{9 + \frac{3}{4} + \frac{1}{4}}{2} = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Теперь представим множители через это число:
$5\frac{1}{4} = 5 + \frac{1}{4}$
$4\frac{3}{4} = 5 - \frac{1}{4}$
Применяем формулу разности квадратов:
$(5 + \frac{1}{4})(5 - \frac{1}{4}) = 5^2 - (\frac{1}{4})^2 = 25 - \frac{1}{16} = 24\frac{15}{16}$.
Ответ: $24\frac{15}{16}$.

е) Для вычисления $2,7 \cdot 3,3$ найдем среднее арифметическое множителей.
Среднее арифметическое: $\frac{2,7 + 3,3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Представим множители в виде суммы и разности с числом 3:
$3,3 = 3 + 0,3$
$2,7 = 3 - 0,3$
Применим формулу разности квадратов:
$(3 + 0,3)(3 - 0,3) = 3^2 - (0,3)^2 = 9 - 0,09 = 8,91$.
Ответ: 8,91.

1. Что является решением уравнения с двумя переменными?

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнение с двумя переменными, например $x$ и $y$, — это равенство, которое связывает эти две переменные. В общем виде его можно записать как $F(x, y) = 0$. В отличие от уравнения с одной переменной, где решением является одно число (или несколько чисел), решением уравнения с двумя переменными является не отдельное число, а пара значений.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, при подстановке которой в уравнение получается верное числовое равенство. Если переменные названы $x$ и $y$, то решение принято записывать в виде пары $(x_0; y_0)$, где на первом месте стоит значение для $x$, а на втором — для $y$.

Например, рассмотрим уравнение $x + y = 10$.

• Пара чисел $(7; 3)$ является решением, так как при подстановке $x=7$ и $y=3$ получается верное равенство: $7 + 3 = 10$.
• А пара $(5; 4)$ решением не является, так как $5 + 4 = 9$, а $9 \ne 10$.

Таким образом, чтобы проверить, является ли пара чисел решением, нужно подставить эти числа вместо переменных в уравнение и проверить, получилось ли верное равенство.

Важно отметить, что, как правило, уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Все эти решения (пары чисел) образуют на координатной плоскости некоторую линию, которая называется графиком уравнения. Например, для уравнения $x + y = 10$ решениями будут также пары $(0; 10)$, $(10; 0)$, $(-2; 12)$ и так далее. Графиком этого линейного уравнения является прямая линия.

Ответ: Решением уравнения с двумя переменными является упорядоченная пара чисел, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

2. Можно ли, не решая систему линейных уравнений, сказать, сколько она имеет решений?

Система двух линейных уравнений с двумя переменными может быть представлена в виде

$\left\{\begin{array}{l}y=k_{1}x+b_1,\\ y=k_{2}x+b_2.\end{array}\right.$

Если $k_1\ne k_2,$ то прямые пересекаются, и система имеет единственное решение; если $k_1\ne k_2,$ но $b_1\ne b_2,$ то прямые параллельны и система не имеет решений; если $k_1\ne k_2,$ и $b_1\ne b_2,$ то прямые совпадают, и система имеет бесконечно много решений (это решения уравнения системы).

Сделанный вывод позволяет, рассмотрев уравнения данной системы, не решая ее, сказать, имеет ли эта систем решение, и если имеет, то сколько.

Да, можно. Количество решений системы линейных уравнений можно определить, не решая ее, а проанализировав соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов. Этот метод основан на геометрической интерпретации системы: каждое линейное уравнение с двумя переменными задает прямую на координатной плоскости, а количество решений системы соответствует количеству точек пересечения этих прямых.

Рассмотрим стандартную систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Возможны три случая:

1. Система имеет единственное решение

Это происходит, когда прямые, соответствующие уравнениям, пересекаются в одной точке. Аналитически это означает, что их угловые коэффициенты не равны. Условие для этого выражается через коэффициенты уравнений следующим образом:

$$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $$

Если один из знаменателей равен нулю (например, $a_2 = 0$), то для проверки условия его можно записать в виде $a_1b_2 \neq a_2b_1$.

Ответ: система имеет одно решение, если отношения коэффициентов при соответствующих переменных не равны.

2. Система не имеет решений

Это происходит, когда прямые параллельны, но не совпадают. В этом случае у них одинаковые угловые коэффициенты, но разные сдвиги по оси y. Условие для этого случая:

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $$

Равенство отношений коэффициентов при $x$ и $y$ означает, что прямые параллельны. Неравенство с отношением свободных членов означает, что прямые не совпадают.

Ответ: система не имеет решений, если отношения коэффициентов при переменных равны между собой, но не равны отношению свободных членов.

3. Система имеет бесконечно много решений

Это происходит, когда уравнения описывают одну и ту же прямую, то есть прямые совпадают. В этом случае коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого. Условие для этого:

$$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $$

Это означает, что второе уравнение можно получить из первого умножением на некоторое число, и наоборот. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы.

Ответ: система имеет бесконечно много решений, если все три отношения (коэффициентов при $x$, коэффициентов при $y$ и свободных членов) равны между собой.

3. Какие существуют способы решения систем уравнений?

Графический и алгебраический (способ подстановки, способ сложения) способы решения систем уравнений.

Существует несколько основных способов решения систем уравнений. Выбор конкретного способа зависит от вида уравнений в системе, их сложности и количества переменных. Ниже приведены наиболее распространенные методы.

Этот метод заключается в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Координаты каждой точки пересечения графиков являются решением системы. Этот способ нагляден, но часто дает лишь приблизительное решение, особенно если координаты точек пересечения не являются целыми числами.

Пример:
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Для построения графиков выразим y в каждом уравнении:
1. $y = 5 - x$ (прямая линия)
2. $y = x - 1$ (прямая линия)
Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в одной точке с координатами (3; 2).

Ответ: (3; 2)

Алгоритм этого метода следующий:
1. Из одного из уравнений системы выражают одну переменную через другую.
2. Полученное выражение подставляют в другое уравнение системы.
3. Решают получившееся уравнение с одной переменной.
4. Найденное значение переменной подставляют в выражение из пункта 1 и находят значение второй переменной.

Пример:
Рассмотрим ту же систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
1. Из второго уравнения выразим x: $x = 1 + y$.
2. Подставим это выражение в первое уравнение: $(1 + y) + y = 5$.
3. Решим полученное уравнение: $1 + 2y = 5 \Rightarrow 2y = 4 \Rightarrow y = 2$.
4. Теперь найдем x: $x = 1 + 2 = 3$.

Ответ: (3; 2)

Этот метод заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных. Иногда для этого требуется предварительно умножить одно или оба уравнения на некоторые числа так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (для сложения) или равными (для вычитания).

Пример:
Снова используем систему: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $
Коэффициенты при y уже являются противоположными числами (1 и -1). Поэтому мы можем сложить два уравнения:
$(x + y) + (x - y) = 5 + 1$
$2x = 6$
$x = 3$
Подставим найденное значение x в любое из исходных уравнений, например, в первое: $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$.

Ответ: (3; 2)

Этот метод применяется для более сложных, часто нелинейных систем, в которых присутствуют повторяющиеся выражения. Эти выражения заменяются новыми переменными, что упрощает систему до стандартного вида. После нахождения новых переменных производят обратную замену.

Пример:
Рассмотрим систему: $ \begin{cases} \frac{1}{x-1} + \frac{2}{y+2} = 3 \\ \frac{3}{x-1} - \frac{1}{y+2} = 2 \end{cases} $
Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x-1}$ и $b = \frac{2}{y+2}$. Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} a + 2b = 3 \\ 3a - b = 2 \end{cases} $
Решим эту простую линейную систему, например, методом подстановки. Из второго уравнения $b = 3a - 2$. Подставим в первое: $a + 2(3a-2) = 3 \Rightarrow a + 6a - 4 = 3 \Rightarrow 7a = 7 \Rightarrow a = 1$.
Тогда $b = 3(1) - 2 = 1$.
Теперь выполним обратную замену:
$a = 1 \Rightarrow \frac{1}{x-1} = 1 \Rightarrow x-1 = 1 \Rightarrow x = 2$.
$b = 1 \Rightarrow \frac{2}{y+2} = 1 \Rightarrow y+2 = 2 \Rightarrow y = 0$.

Ответ: (2; 0)

Эти методы относятся к линейной алгебре и особенно эффективны для решения систем линейных уравнений с большим количеством переменных. Система уравнений представляется в виде матричного уравнения $AX=B$, где $A$ – матрица коэффициентов, $X$ – столбец неизвестных, $B$ – столбец свободных членов.

Пример представления в матричном виде для системы $ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} $:
$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} $

• Метод Крамера использует определители матриц для нахождения каждой переменной по формуле $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$.
• Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) заключается в приведении расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
• Метод обратной матрицы позволяет найти решение как $X = A^{-1}B$, где $A^{-1}$ – матрица, обратная матрице $A$.

Ответ: Эти методы предоставляют систематические алгоритмы для нахождения решения систем линейных уравнений, особенно эффективные для систем с большим числом переменных.