Страница 169 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

712. Не выполняя построения:

а) определите, пересекает ли парабола y = x² – 8x + 16 прямую 2x – 3y = 0 и если да, то в каких точках;

б) найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции y = 2x² + 9x – 5.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \left\{\begin{array}{l}y=x^2-8x+16\\ 2x-3y=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y={\left(x-4\right)}^2\\ 2x-3{\left(x-4\right)}^2=0\end{array}\right. \\ 2x-3\left(x^2-8x+16\right)=0 \\ 2x-3x^2+24x-48=0 \\ -3x^2+26x-48=0 \\ D=26^2-4·\left(-3\right)·\left(-48\right)=676-576=100 \\ x=\frac{-26\pm \sqrt{100}}{-6}, x=\frac{-26\pm 10}{-6} \\ {x}_1=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}; x_2=6 \end{gathered}$$

Если $x={\displaystyle \frac{8}{3}}x=\backslash frac\{8\}\{3\}$, то $y={\left(\frac{8}{3}-4\right)}^2={\left(\frac{8-12}{3}\right)}^2={\left(\frac{-4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9},$

Если $x=6x=6$, то $y={\left(6-4\right)}^2=4$

Ответ: пересекает в точках $\left(2{\displaystyle \frac{2}{3}};1{\displaystyle \frac{7}{9}}\right)(2\; \backslash frac\{2\}\{3\};\; 1\; \backslash frac\{7\}\{9\})$, $\left(6;4\right)(6;4)$

б) $y=2x^2+9x-5y=2x^2+9x-5$

С осью x; y=0;

$$\begin{gathered} 2x^2+9x-5=0 \\ D=9^2-4·2·\left(-5\right)=81+40=121 \\ x=\frac{-9\pm \sqrt{121}}{4}; x=\frac{-9\pm 11}{4} \\ {x}_1=\frac{1}{2}; x_2=-5 \\ \left(\frac{1}{2};0\right) \text{и} (-5;0) \end{gathered}$$

С осью y: x=0;

$$\begin{gathered} y=2·0^2+9·0-5=-5y\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0^2\; +\; 9\; \backslash cdot\; 0\; -\; 5\; =\; -5 \\ \left(0;-5\right)(0;-5) \end{gathered}$$

Ответ: $\left({\displaystyle \frac{1}{2}};0\right)(\backslash frac\{1\}\{2\};0)$, $\left(-5;0\right)(-5;0)$; $\left(0;-5\right)(0;-5)$

а)

Чтобы определить, пересекаются ли парабола $y = x^2 - 8x + 16$ и прямая $2x - 3y = 0$, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 - 8x + 16 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases} $

Сначала выразим $y$ из второго уравнения:

$3y = 2x$

$y = \frac{2}{3}x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$\frac{2}{3}x = x^2 - 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение. Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$2x = 3(x^2 - 8x + 16)$

$2x = 3x^2 - 24x + 48$

$3x^2 - 24x - 2x + 48 = 0$

$3x^2 - 26x + 48 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения, чтобы определить количество решений.

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 676 - 576 = 100$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, а значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем абсциссы ($x$) точек пересечения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{26 \pm 10}{6}$

$x_1 = \frac{26 + 10}{6} = \frac{36}{6} = 6$

$x_2 = \frac{26 - 10}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив значения $x$ в уравнение прямой $y = \frac{2}{3}x$:

При $x_1 = 6$:

$y_1 = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$

При $x_2 = \frac{8}{3}$:

$y_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{9}$

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(6, 4)$ и $(\frac{8}{3}, \frac{16}{9})$.

Ответ: Да, парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(6, 4)$ и $(\frac{8}{3}, \frac{16}{9})$.

б)

Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции $y = 2x^2 + 9x - 5$ с осями координат, нужно рассмотреть два случая.

1. Пересечение с осью ординат (осью Oy):

В точке пересечения с осью Oy абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:

$y = 2(0)^2 + 9(0) - 5 = -5$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, -5)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью Ox):

В точках пересечения с осью Ox ордината $y = 0$. Подставим это значение в уравнение функции и решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + 9x - 5 = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Следовательно, точки пересечения с осью Ox имеют координаты $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(-5, 0)$.

Ответ: Точка пересечения с осью Oy: $(0, -5)$. Точки пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(-5, 0)$.

713. Докажите, что прямая x – y = 4 имеет одну общую точку с параболой y = x² – 5x + 5, и найдите координаты этой общей точки.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=4\\ y=x^2-5x+5\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\ x^2-5x+5=x-4\end{array}\right. \\ {x}^2-5x-x+5+4=0 \\ {x}^2-6x+9=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4·1·9=36-36=0 \\ x=\frac{6}{2}=3 \\ y=3-4=-1 \end{gathered}$$

Ответ: (3;-1)

Чтобы доказать, что прямая и парабола имеют одну общую точку, и найти ее координаты, необходимо решить систему уравнений, задающих эти кривые.

Система уравнений имеет вид:

$\begin{cases} y = x^2 - 5x + 5 \\ x - y = 4 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = x - 4$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x - 4 = x^2 - 5x + 5$

Теперь приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$, перенеся все члены в одну сторону:

$x^2 - 5x - x + 5 + 4 = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

Количество общих точек прямой и параболы равно количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Чтобы определить количество корней, найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны $a=1$, $b=-6$, $c=9$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$

Поскольку дискриминант равен нулю ($D=0$), квадратное уравнение имеет ровно один действительный корень. Это доказывает, что прямая и парабола имеют ровно одну общую точку (то есть прямая является касательной к параболе).

Теперь найдем координаты этой точки. Сначала решим уравнение $x^2 - 6x + 9 = 0$ для нахождения абсциссы точки. Это уравнение представляет собой полный квадрат:

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем:

$x = 3$

Для нахождения ординаты y подставим значение $x=3$ в уравнение прямой $y = x - 4$:

$y = 3 - 4 = -1$

Таким образом, единственная общая точка прямой и параболы имеет координаты $(3, -1)$.

Ответ: Координаты общей точки: $(3, -1)$.

714. Докажите, что парабола y = 2x² – 5x + 1 и прямая 2x + y + 3 = 0 не пересекаются.

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=2x^2-5x+1\\ 2x+y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=-2x-3\\ 2x^2-5x+1=-2x-3\end{array}\right. \\ 2x^2-5x+1+2x+3=0 \\ 2x^2-3x+4=0 \\ D={\left(-3\right)}^2-4·2·4=9-32=-23<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней во втором уравнении системы. Значит, парабола и прямая не пересекаются.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, необходимо найти их общие точки. Координаты общих точек $(x, y)$ должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнений параболы и прямой:
$ \begin{cases} y = 2x^2 - 5x + 1 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases} $

Проще всего решить эту систему методом подстановки. Выразим переменную y из второго уравнения (уравнения прямой):
$y = -2x - 3$

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение (уравнение параболы). Это позволит нам получить уравнение с одной переменной x, решения которого будут абсциссами точек пересечения:
$2x^2 - 5x + 1 = -2x - 3$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 - 5x + 1 + 2x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + (-5x + 2x) + (1 + 3) = 0$
$2x^2 - 3x + 4 = 0$

Количество точек пересечения параболы и прямой равно количеству действительных корней полученного квадратного уравнения. Чтобы определить количество корней, вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем уравнении коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = 4$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23$

Поскольку дискриминант $D = -23$ меньше нуля ($D < 0$), данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого действительного значения x, при котором парабола и прямая имели бы общую точку. Следовательно, графики данных функций не пересекаются.

Ответ: Дискриминант квадратного уравнения, полученного в результате приравнивания уравнений параболы и прямой, отрицателен ($D = -23$). Это означает, что система уравнений не имеет действительных решений, следовательно, парабола и прямая не пересекаются, что и требовалось доказать.

715. При каких значениях k парабола y = x² + 1 и прямая y = kx имеют только одну общую точку?

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ y=kx\end{array}\right. \\ {x}^2+1=kx \\ {x}^2-kx+1=0 \\ D={\left(-k\right)}^2-4·1·1=k^2-4=0 \\ {k}^2=4; k=\pm 2 \end{gathered}$$

Ответ: при k=±2

Для того чтобы парабола $y = x^2 + 1$ и прямая $y = kx$ имели только одну общую точку, система уравнений, составленная из их уравнений, должна иметь единственное решение.
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы $x$ общих точек:
$x^2 + 1 = kx$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно переменной $x$:
$x^2 - kx + 1 = 0$
Это уравнение является квадратным. Оно имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.
Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находится по формуле $D = b^2 - 4ac$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -k$, $c = 1$.
Найдем дискриминант:
$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$
Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение для $k$:
$k^2 - 4 = 0$
$k^2 = 4$
$k = \pm\sqrt{4}$
Следовательно, получаем два значения для $k$:
$k_1 = 2$
$k_2 = -2$
При этих значениях $k$ прямая является касательной к параболе, и они имеют ровно одну общую точку.
Ответ: $k = -2; 2$.

716. Построив схематически графики уравнений, выясните, сколько решений имеет система уравнений:

а) $\left\{\begin{array}{l}y=x^3\\ y=15x\end{array}\right.$

Ответ: 3 решения

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}xy=10 \\ y=x \\ \left\{\begin{array}{l}y=\frac{10}{x}\\ y=x\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: 2 решения

а) Для того чтобы выяснить, сколько решений имеет система уравнений, построим схематически графики функций $y = x^3$ и $y = 15x$ и найдем количество точек их пересечения.

График уравнения $y = x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат (0,0) и расположенная в I и III координатных четвертях.

График уравнения $y = 15x$ — это прямая линия, которая также проходит через начало координат (0,0) и расположена в I и III координатных четвертях. Угловой коэффициент $k=15$ показывает, что прямая имеет большой наклон.

Поскольку оба графика проходят через точку (0,0), это одна из точек их пересечения. Чтобы найти другие точки пересечения, приравняем правые части уравнений:
$x^3 = 15x$
$x^3 - 15x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x^2 - 15) = 0$
Это уравнение имеет три корня:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 15 = 0 \implies x^2 = 15 \implies x_2 = \sqrt{15}$
3) $x_3 = -\sqrt{15}$

Каждому значению $x$ соответствует одно значение $y$, следовательно, система имеет три решения. Графически это означает, что прямая $y=15x$ пересекает кубическую параболу $y=x^3$ в трех точках: в начале координат, в первой координатной четверти (при $x = \sqrt{15}$) и в третьей координатной четверти (при $x = -\sqrt{15}$).

Ответ: 3 решения.

б) Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} xy = 10, \\ y = x. \end{cases}$
Для определения количества решений построим графики этих уравнений.

График уравнения $xy = 10$, или $y = \frac{10}{x}$, — это гипербола. Так как коэффициент $10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

График уравнения $y = x$ — это прямая линия, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Прямая проходит через начало координат.

Прямая $y=x$ проходит через те же четверти, что и ветви гиперболы $y=\frac{10}{x}$. Следовательно, прямая пересечет каждую ветвь гиперболы по одному разу. Одна точка пересечения будет в I четверти (где $x > 0$ и $y > 0$), а вторая — в III четверти (где $x < 0$ и $y < 0$).

Чтобы убедиться в этом, решим систему аналитически. Подставим $y=x$ в первое уравнение:
$x \cdot x = 10$
$x^2 = 10$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt{10}$ и $x_2 = -\sqrt{10}$.
Соответствующие значения $y$ равны $y_1 = \sqrt{10}$ и $y_2 = -\sqrt{10}$.

Таким образом, система имеет два решения, что соответствует двум точкам пересечения графиков.

Ответ: 2 решения.

717. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}9x^2-100=0 \\ 9x^2=100 \\ {x}^2=\frac{100}{9} \\ \begin{array}{ccc}{x}_1=\frac{10}{3}& \text{или}& x_2=-\frac{10}{3}\\ x_1=3\frac{1}{3}& & x_2=-3\frac{1}{3}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $-3\frac{1}{3}; 3\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 2=7c^2 \\ {c}^2=\frac{2}{7} \\ \begin{array}{ccc}c=\sqrt{\frac{2}{7}}& \text{или}& c=-\sqrt{\frac{2}{7}} \\ \\ c=\frac{\sqrt{14}}{7}& & c=-\frac{\sqrt{14}}{7}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{7}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{7}}\backslash frac\{\backslash sqrt\{14\}\}\{7\};\; -\backslash frac\{\backslash sqrt\{14\}\}\{7\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}9m^2-4=0 \\ 9m^2=4 \\ {m}^2=\frac{4}{9} \\ m=\frac{2}{3} \text{или} m=-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{2}{3}};{\displaystyle \frac{2}{3}}-\backslash frac\{2\}\{3\};\; \backslash frac\{2\}\{3\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}-0,8y^2+3y=0 \\ y\left(-0,8y+3\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}y=0& \text{или}& -0,8y+3=0\\ & & -0,8y=-3\\ & & y=\frac{-3}{-0,8}\\ & & y=\frac{30}{8}\\ & & y=\frac{15}{4}\\ & & y=3\frac{3}{4}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: $0; 3\frac{3}{4}$

а) $9x^2 - 100 = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Для его решения перенесем свободный член (-100) в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$9x^2 = 100$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:

$x^2 = \frac{100}{9}$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что у квадратного корня из положительного числа есть два значения: положительное и отрицательное.

$x = \pm\sqrt{\frac{100}{9}}$

$x = \pm\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{9}}$

$x = \pm\frac{10}{3}$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = -\frac{10}{3}$ и $x_2 = \frac{10}{3}$. Их можно также записать в виде смешанных чисел: $-3\frac{1}{3}$ и $3\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{10}{3}; \frac{10}{3}$.

б) $2 = 7c^2$

Это также неполное квадратное уравнение. Для удобства поменяем части уравнения местами:

$7c^2 = 2$

Разделим обе части уравнения на 7, чтобы выразить $c^2$:

$c^2 = \frac{2}{7}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$c = \pm\sqrt{\frac{2}{7}}$

В математике принято избавляться от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 7:

$c = \pm\sqrt{\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 7}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{49}} = \pm\frac{\sqrt{14}}{7}$

Корни уравнения: $c_1 = -\frac{\sqrt{14}}{7}$ и $c_2 = \frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{\sqrt{14}}{7}$.

в) $9m^2 - 4 = 0$

Это уравнение решается аналогично пункту а). Перенесем -4 в правую часть:

$9m^2 = 4$

Разделим обе части на 9:

$m^2 = \frac{4}{9}$

Извлечем квадратный корень:

$m = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$

$m = \pm\frac{2}{3}$

Корни уравнения: $m_1 = -\frac{2}{3}$ и $m_2 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

г) $-0.8y^2 + 3y = 0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+bx=0$, в котором свободный член равен нулю. Такие уравнения решаются разложением на множители. Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(-0.8y + 3) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $y_1 = 0$. Это первый корень.

2) $-0.8y + 3 = 0$. Решим это линейное уравнение.

$-0.8y = -3$

Умножим обе части на -1:

$0.8y = 3$

$y_2 = \frac{3}{0.8}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$y_2 = \frac{30}{8}$

Сократим полученную дробь на 4:

$y_2 = \frac{15}{4}$

Этот корень можно также записать в виде десятичной дроби $3.75$.

Ответ: $0; \frac{15}{4}$.

718. При каких значениях x:

а) трёхчлен –x² – 2x + 168 принимает положительные значения;

б) трёхчлен 15x² + x – 2 принимает отрицательные значения;

в) дробь x + 143 - 2x принимает отрицательные значения;

г) дробь 6 - 5xx + 25 принимает положительные значения?

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}-x^2-2x+168=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·168=4+672=676 \\ x=\frac{2\pm \sqrt{676}}{-2}; x=\frac{2\pm 26}{-2} \\ {x}_1=-14; x_2=12 \\ -x^2-2x+168=-\left(x+14\right)\left(x-12\right)>0 \end{gathered}$$

при

Это возможно при

$\left\{\begin{array}{l}x+14<0\\ x-12>0\end{array}\right.\text{или} \left\{\begin{array}{l}x+14>0\\ x-12<0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x<-14\\ x>12\end{array}\right.$- нет решений

или

$\left\{\begin{array}{l}x>-14\\ x<12\end{array}\right. -14<x<12$

Ответ: при трёхчлен принимает положительные значения

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}15x^2+x-2=0 \\ D=1^2-4·15·\left(-2\right)=1+120=121 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{121}}{30}; x=\frac{-1\pm 11}{30} \\ {x}_1=\frac{1}{3}; x_2=-\frac{12}{30}=-\frac{2}{5} \\ 15x^2+x-2=15\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)= \\ =3·5\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{5}\right)=\left(3x-1\right)\left(5x+2\right)<0 \end{gathered}$$

$\begin{array}{cl}\text{при}& \left\{\begin{array}{l}3x-1<0\\ 5x+2>0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x<\frac{1}{3}\\ x>-\frac{2}{5}\end{array}\right.\end{array}$ $\begin{array}{cl}\text{или}& \left\{\begin{array}{l}3x-1>0\\ 5x+2<0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<-\frac{2}{5}\end{array}- \text{нет решений}\right.\end{array}$

Ответ: при трёхчлен принимает отрицательные значения

в)

$\begin{array}{clcl}\text{при}& \left\{\begin{array}{l}x+14>0\\ 3-2x<0\end{array}\right.& \text{или}& \left\{\begin{array}{l}x+14<0\\ 3-2x>0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x>-14\\ x>\frac{3}{2}\end{array}\right.& & \left\{\begin{array}{l}x<-14\\ x<\frac{3}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Ответ: дробь принимает отрицательные значения при и при $x>1,5$

г) ${\displaystyle \frac{6-5x}{x+25}}>0\backslash frac\{6-5x\}\{x+25\}>0$

$\begin{array}{cl}\text{при}& \left\{\begin{array}{l}6-5x>0\\ x+25>0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x<1,2\\ x>-25\end{array}\right.\end{array}$$\begin{array}{cl}\text{или}& \left\{\begin{array}{l}6-5x<0\\ x+25<0\end{array}\right.\\ & \left\{\begin{array}{l}x>1,2\\ x<-25\end{array}\right.\text{ - нет решений}\end{array}$

Ответ: дробь принимает положительные значения при -25<x<1,2

а) Чтобы трёхчлен $-x^2 - 2x + 168$ принимал положительные значения, должно выполняться неравенство:

$-x^2 - 2x + 168 > 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 2x - 168 < 0$

Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 2x - 168 = 0$, чтобы найти корни трёхчлена. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдём их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Мы решаем неравенство $x^2 + 2x - 168 < 0$. Графиком функции $y = x^2 + 2x - 168$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля). Следовательно, значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-14; 12)$.

Ответ: $x \in (-14; 12)$.

б) Чтобы трёхчлен $15x^2 + x - 2$ принимал отрицательные значения, должно выполняться неравенство:

$15x^2 + x - 2 < 0$

Найдём корни соответствующего квадратного уравнения $15x^2 + x - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121$

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 15} = \frac{-1 - 11}{30} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 15} = \frac{-1 + 11}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Графиком функции $y = 15x^2 + x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как $a=15 > 0$). Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $(-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{5}; \frac{1}{3})$.

в) Чтобы дробь $\frac{x+14}{3-2x}$ принимала отрицательные значения, должно выполняться неравенство:

$\frac{x+14}{3-2x} < 0$

Решим данное неравенство методом интервалов. Для этого найдём значения $x$, при которых числитель и знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x + 14 = 0 \Rightarrow x = -14$.

Нуль знаменателя: $3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 1.5$.

Отметим точки $-14$ и $1.5$ на числовой оси. Эти точки разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -14)$, $(-14; 1.5)$ и $(1.5; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, выбрав в каждом по одной контрольной точке:

- При $x < -14$ (например, $x = -15$): $\frac{-15+14}{3-2(-15)} = \frac{-1}{33} < 0$. Этот интервал является решением.

- При $-14 < x < 1.5$ (например, $x = 0$): $\frac{0+14}{3-2(0)} = \frac{14}{3} > 0$. Этот интервал не является решением.

- При $x > 1.5$ (например, $x = 2$): $\frac{2+14}{3-2(2)} = \frac{16}{-1} < 0$. Этот интервал является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -14) \cup (1.5; +\infty)$.

г) Чтобы дробь $\frac{6-5x}{x+25}$ принимала положительные значения, должно выполняться неравенство:

$\frac{6-5x}{x+25} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $6 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5} = 1.2$.

Нуль знаменателя: $x + 25 = 0 \Rightarrow x = -25$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq -25$.

Отметим точки $-25$ и $1.2$ на числовой оси, которые разбивают её на интервалы: $(-\infty; -25)$, $(-25; 1.2)$ и $(1.2; +\infty)$.

Определим знак дроби в каждом из интервалов:

- При $x < -25$ (например, $x = -30$): $\frac{6-5(-30)}{-30+25} = \frac{156}{-5} < 0$. Интервал не подходит.

- При $-25 < x < 1.2$ (например, $x = 0$): $\frac{6-5(0)}{0+25} = \frac{6}{25} > 0$. Интервал подходит.

- При $x > 1.2$ (например, $x = 2$): $\frac{6-5(2)}{2+25} = \frac{-4}{27} < 0$. Интервал не подходит.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-25; 1.2)$.

Ответ: $x \in (-25; 1.2)$.