Страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

693. Из города А в город В автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, а обратно — со скоростью 90 км/ч. При этом путь из города B в город А занял на 1 ч меньше, чем путь из города А в город В. Найдите расстояние между городами А и В.

Пусть x км - расстояние между городами, тогда время, потраченное на путь из А в В равно ${\displaystyle \frac{x}{80}}\backslash frac\{x\}\{80\}$, а время, потраченное на путь из В в А равно ${\displaystyle \frac{x}{90}}\backslash frac\{x\}\{90\}$. Зная, что путь из В в А занял на 1ч меньше, чем путь из А в В, составим и решим уравнения:

$$\begin{gathered} \frac{x}{80}-\frac{x}{90}=1 \mathrm{/}·720 \\ 9x-8x=720 \\ x=720 \end{gathered}$$

Ответ: 720 км

Решение:

Пусть $S$ (в км) — искомое расстояние между городами А и В. Тогда расстояние, которое проехал автомобиль из А в В, равно $S$, и расстояние, которое он проехал обратно из В в А, также равно $S$.

Скорость автомобиля на пути из города А в город В была $v_1 = 80$ км/ч.

Скорость автомобиля на обратном пути из города В в город А была $v_2 = 90$ км/ч.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, которое автомобиль затратил на путь из А в В, составляет $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{80}$ часов.

Время, которое автомобиль затратил на обратный путь из В в А, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{90}$ часов.

По условию задачи, путь из города В в город А занял на 1 час меньше, чем путь из города А в город В. Это означает, что разница во времени составляет 1 час:

$t_1 - t_2 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение, чтобы составить уравнение относительно переменной $S$:

$\frac{S}{80} - \frac{S}{90} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 80 и 90 — это 720.

$\frac{9 \cdot S}{720} - \frac{8 \cdot S}{720} = 1$

$\frac{9S - 8S}{720} = 1$

$\frac{S}{720} = 1$

Отсюда находим $S$:

$S = 720 \cdot 1$

$S = 720$

Следовательно, расстояние между городами А и В равно 720 км.

Выполним проверку:

Время в пути из А в В: $t_1 = \frac{720}{80} = 9$ часов.

Время в пути из В в А: $t_2 = \frac{720}{90} = 8$ часов.

Разница во времени: $9 \text{ ч} - 8 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 720 км.

694. Улитка ползёт по стволу дерева в течение получаса со скоростью 0,25 м/мин. Постройте график движения улитки.

t=30 мин, v=0,25м/мин

s=vt=0,25*30=7,5(м)

Для построения графика движения улитки необходимо определить зависимость пройденного расстояния от времени. Поскольку скорость улитки постоянна, ее движение является равномерным.

1. Подготовка данных и вывод уравнения движения.

Сначала приведем все величины к единой системе единиц. Скорость дана в метрах в минуту, а время — в часах. Переведем время движения в минуты:

$t_{полное} = 0,5 \text{ часа} = 0,5 \times 60 = 30$ минут.

Скорость улитки: $v = 0,25$ м/мин.

Зависимость пройденного расстояния $s$ (в метрах) от времени $t$ (в минутах) при равномерном движении описывается линейной функцией:

$s(t) = v \cdot t$

Подставив значение скорости, получим уравнение движения для данной задачи:

$s(t) = 0,25 \cdot t$

2. Построение графика.

Графиком линейной функции $s(t) = 0,25t$ является прямая линия. Для ее построения в системе координат $(t, s)$ достаточно найти две точки. Мы построим график на интервале времени от $t=0$ до $t=30$ минут. Вычислим координаты начальной и конечной точек отрезка, который будет являться графиком движения:
При $t = 0$ мин (начало движения): $s(0) = 0,25 \cdot 0 = 0$ м. Первая точка — начало координат $(0; 0)$.
При $t = 30$ мин (конец движения): $s(30) = 0,25 \cdot 30 = 7,5$ м. Вторая точка — $(30; 7,5)$.

График представляет собой отрезок прямой, соединяющий эти две точки. По оси абсцисс откладывается время $t$ (в минутах), а по оси ординат — расстояние $s$ (в метрах).

Ответ: График движения улитки — это отрезок прямой, соединяющий точку начала координат $(0; 0)$ с точкой $(30; 7,5)$. По оси абсцисс отложено время в минутах ($t$), по оси ординат — пройденное расстояние в метрах ($s$).

695. Разложите на множители

a) $16m^2-25n^4=\left(4m-5n^2\right)\left(4m+5n^2\right)$

б) $0,09a^4-9b^4=\left(0,3a^2-3b\right)\left(0,3a^2+3b\right)$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}{\left(2a+3\right)}^2-4=\left(2a+3-2\right)\left(2a+3+2\right)= \\ =\left(2a+1\right)\left(2a+5\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}36-{\left(1-5x\right)}^2=\left(6-\left(1-5x\right)\right)\left(6+1-5x\right)= \\ =\left(6-1+5x\right)\left(7-5x\right)=\left(5+5x\right)\left(7-5x\right)= \\ =5\left(1+x\right)\left(7-5x\right) \end{gathered}$$

а) Для разложения на множители выражения $16m^2 - 25n^4$ воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $16m^2 = (4m)^2$ и $25n^4 = (5n^2)^2$.
Подставим эти значения в формулу, где $x = 4m$ и $y = 5n^2$:
$16m^2 - 25n^4 = (4m)^2 - (5n^2)^2 = (4m - 5n^2)(4m + 5n^2)$.
Ответ: $(4m - 5n^2)(4m + 5n^2)$.

б) Для разложения на множители выражения $0,09a^4 - 9b^2$ применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $0,09a^4 = (0,3a^2)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$.
Подставим в формулу, где $x = 0,3a^2$ и $y = 3b$:
$0,09a^4 - 9b^2 = (0,3a^2)^2 - (3b)^2 = (0,3a^2 - 3b)(0,3a^2 + 3b)$.
Ответ: $(0,3a^2 - 3b)(0,3a^2 + 3b)$.

в) Для разложения на множители выражения $(2a + 3)^2 - 4$ используем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов: $(2a + 3)^2 - 2^2$.
Здесь $x = (2a + 3)$ и $y = 2$. Подставим в формулу:
$(2a + 3)^2 - 2^2 = ((2a + 3) - 2)((2a + 3) + 2)$.
Упростим выражения в скобках:
$(2a + 3 - 2)(2a + 3 + 2) = (2a + 1)(2a + 5)$.
Ответ: $(2a + 1)(2a + 5)$.

г) Для разложения на множители выражения $36 - (1 - 5x)^2$ применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим выражение в виде разности квадратов: $6^2 - (1 - 5x)^2$.
Здесь $x = 6$ и $y = (1 - 5x)$. Подставим в формулу:
$6^2 - (1 - 5x)^2 = (6 - (1 - 5x))(6 + (1 - 5x))$.
Упростим выражения в скобках, раскрыв внутренние скобки:
$(6 - 1 + 5x)(6 + 1 - 5x) = (5 + 5x)(7 - 5x)$.
В первом множителе можно вынести общий множитель 5 за скобки: $5 + 5x = 5(1 + x)$.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид: $5(1 + x)(7 - 5x)$.
Ответ: $5(1 + x)(7 - 5x)$.