Номер 693, страница 163 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 693, страница 163.

693. Из города А в город В автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, а обратно — со скоростью 90 км/ч. При этом путь из города B в город А занял на 1 ч меньше, чем путь из города А в город В. Найдите расстояние между городами А и В.

Пусть x км - расстояние между городами, тогда время, потраченное на путь из А в В равно ${\displaystyle \frac{x}{80}}\backslash frac\{x\}\{80\}$, а время, потраченное на путь из В в А равно ${\displaystyle \frac{x}{90}}\backslash frac\{x\}\{90\}$. Зная, что путь из В в А занял на 1ч меньше, чем путь из А в В, составим и решим уравнения:

$$\begin{gathered} \frac{x}{80}-\frac{x}{90}=1 \mathrm{/}·720 \\ 9x-8x=720 \\ x=720 \end{gathered}$$

Ответ: 720 км

Решение:

Пусть $S$ (в км) — искомое расстояние между городами А и В. Тогда расстояние, которое проехал автомобиль из А в В, равно $S$, и расстояние, которое он проехал обратно из В в А, также равно $S$.

Скорость автомобиля на пути из города А в город В была $v_1 = 80$ км/ч.

Скорость автомобиля на обратном пути из города В в город А была $v_2 = 90$ км/ч.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время, которое автомобиль затратил на путь из А в В, составляет $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{80}$ часов.

Время, которое автомобиль затратил на обратный путь из В в А, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{90}$ часов.

По условию задачи, путь из города В в город А занял на 1 час меньше, чем путь из города А в город В. Это означает, что разница во времени составляет 1 час:

$t_1 - t_2 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в это уравнение, чтобы составить уравнение относительно переменной $S$:

$\frac{S}{80} - \frac{S}{90} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 80 и 90 — это 720.

$\frac{9 \cdot S}{720} - \frac{8 \cdot S}{720} = 1$

$\frac{9S - 8S}{720} = 1$

$\frac{S}{720} = 1$

Отсюда находим $S$:

$S = 720 \cdot 1$

$S = 720$

Следовательно, расстояние между городами А и В равно 720 км.

Выполним проверку:

Время в пути из А в В: $t_1 = \frac{720}{80} = 9$ часов.

Время в пути из В в А: $t_2 = \frac{720}{90} = 8$ часов.

Разница во времени: $9 \text{ ч} - 8 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 720 км.