Номер 691, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 691, страница 162.

691. Используя графики уравнений, изображённые на рисунке 30, объясните графический смысл равносильности систем уравнений

$\left\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ x+y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=2x-5\\ y=-x+1\end{array}\right.$

Если x=2, то $\left\{\begin{array}{l}y=2·2-5\\ y=-2+1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=-1\\ y=-1\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=2, k_2=-1, k_1\ne k_2,$ то прямые пересекаются в точке (2;-1)

$\left\{\begin{array}{l}(2x-1)+(x+y) =5+1\\ x+y=1\end{array}\right.$

К первой системе применили способ сложения. Сложив первое и второе уравнения первой системы получили первое уравнение второй системы. Значит, данные системы равносильны.

$\left\{\begin{array}{l}2x-y+x+y=6\\ x+y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3x=6\\ x+y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ 2+y=1\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\right.$

Для объяснения графического смысла равносильности двух систем уравнений проанализируем каждую из них с помощью представленного графика.

Первая система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 5, \\ x + y = 1. \end{cases} $

Решением этой системы является точка пересечения графиков линейных функций $2x - y = 5$ и $x + y = 1$. На рисунке 30 изображены две наклонные прямые, соответствующие этим уравнениям. Их точка пересечения имеет координаты $(2, -1)$. Следовательно, решением первой системы является пара чисел $(2, -1)$.

Вторая система уравнений:

$ \begin{cases} (2x - y) + (x + y) = 5 + 1, \\ x + y = 1. \end{cases} $

В этой системе второе уравнение $x + y = 1$ совпадает со вторым уравнением первой системы. Преобразуем первое уравнение второй системы:

$(2x - y) + (x + y) = 5 + 1$

$3x = 6$

$x = 2$

Таким образом, вторая система равносильна системе:

$ \begin{cases} x = 2, \\ x + y = 1. \end{cases} $

Решением этой системы является точка пересечения прямой $x = 2$ (вертикальная прямая, проходящая через точку $(2, 0)$) и прямой $x + y = 1$. На графике видно, что эти прямые также пересекаются в точке $(2, -1)$.

Системы уравнений называются равносильными, если они имеют одинаковые множества решений. Обе рассматриваемые системы имеют одно и то же решение — точку $(2, -1)$, следовательно, они равносильны.

Графический смысл равносильности заключается в том, что преобразование, которое переводит первую систему во вторую (замена одного из уравнений на сумму уравнений), приводит к новой прямой ($x=2$), которая обязательно проходит через точку пересечения исходных прямых ($(2, -1)$). Поскольку вторая прямая ($x+y=1$) в системе осталась без изменений, точка пересечения — а значит, и решение системы — остается той же самой.

Ответ: Графический смысл равносильности данных систем заключается в том, что решение каждой системы является точкой пересечения прямых, которые представляют уравнения системы. В первой системе это точка пересечения прямых $2x - y = 5$ и $x + y = 1$, то есть точка $(2, -1)$. Во второй системе одно из уравнений ($2x-y=5$) заменено на уравнение $x=2$, полученное сложением уравнений исходной системы. График нового уравнения $x=2$ — это прямая, которая также проходит через точку $(2, -1)$. Поэтому точка пересечения прямых во второй системе ($x = 2$ и $x + y = 1$) совпадает с точкой пересечения прямых в первой системе. Так как обе системы имеют одно и то же графическое решение (точку пересечения), они являются равносильными.