Номер 685, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 685, страница 160.

685. Решите уравнение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{\left(2x+1\right)\left(2x-3\right)}{4}=x^2-1\mathrm{/}·4 \\ \left(2x+1\right)\left(2x-3\right)=4\left(x^2-1\right) \\ 4x^2-6x+2x-3=4x^2-4 \\ 4x^2-4x-3-4x^2+4=0 \\ -4x+1=0 \\ -4x=-1 \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{1}{4}}\backslash frac\{1\}\{4\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2-\frac{\left(2x-1\right)x}{2}=2\mathrm{/}·2 \\ 2x^2-\left(2x-1\right)x=4 \\ 2x^2-2x^2+x=4 \\ x=4 \end{gathered}$$

Ответ: $44$

а)

Дано уравнение: $\frac{(2x + 1)(2x - 3)}{4} = x^2 - 1$.
Для начала избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 4:
$4 \cdot \frac{(2x + 1)(2x - 3)}{4} = 4 \cdot (x^2 - 1)$
$(2x + 1)(2x - 3) = 4x^2 - 4$
Теперь раскроем скобки в левой части уравнения, перемножив двучлены:
$2x \cdot 2x + 2x \cdot (-3) + 1 \cdot 2x + 1 \cdot (-3) = 4x^2 - 4$
$4x^2 - 6x + 2x - 3 = 4x^2 - 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$4x^2 - 4x - 3 = 4x^2 - 4$
Перенесем все члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую. Вычтем $4x^2$ из обеих частей:
$-4x - 3 = -4$
Прибавим 3 к обеим частям:
$-4x = -4 + 3$
$-4x = -1$
Найдем $x$, разделив обе части на -4:
$x = \frac{-1}{-4}$
$x = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Дано уравнение: $x^2 - \frac{(2x - 1)x}{2} = 2$.
Умножим все члены уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$2 \cdot x^2 - 2 \cdot \frac{(2x - 1)x}{2} = 2 \cdot 2$
$2x^2 - (2x - 1)x = 4$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$2x^2 - (2x^2 - x) = 4$
$2x^2 - 2x^2 + x = 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$x = 4$
Ответ: 4.