Номер 689, страница 162 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 689, страница 162.

689. Выясните, каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков уравнений данной системы и сделайте вывод о том, имеет ли система решение, и, если имеет, то сколько:

a) $\left\{\begin{array}{c}3x-y=5\\ 3x+2y=8\end{array}\right.\left\{\begin{array}{c}y=3x-5\\ 2y=8-3x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ y=\frac{8-3x}{2}\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ y=-\frac{3}{2}x+4\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=3$, $k_2=-\frac{3}{2}$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

б) $\left\{\begin{array}{l}2y-x=4\\ y-2x=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y=4+x\\ y=2x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x+4}{2}\\ y=2x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+2\\ y=2x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{1}{2}, k_2=2,$; $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

в) $\left\{\begin{array}{l}y=0,5x+2\\ y=0,5x-4\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=0,5;$ $b_1=2, b_2=-4, b_1\ne b_2,$ то прямые параллельны.

Ответ: решений нет

а) Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$.

Чтобы определить взаимное расположение графиков, необходимо сравнить их угловые коэффициенты. Для этого приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – точка пересечения с осью ординат.

Первое уравнение: $3x - y = 5$. Выразим $y$: $y = 3x - 5$. Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = 3$.

Второе уравнение: $3x + 2y = 8$. Выразим $y$: $2y = -3x + 8$, откуда $y = -\frac{3}{2}x + 4$, или $y = -1,5x + 4$. Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = -1,5$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = 3$ и $k_2 = -1,5$. Так как $k_1 \neq k_2$ ($3 \neq -1,5$), то прямые имеют разные наклоны и, следовательно, пересекаются в одной точке.

Поскольку графики уравнений пересекаются в одной точке, система имеет одно решение.

Ответ: Графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

б) Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} 2y - x = 4 \\ y - 2x = 0 \end{cases}$.

Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$, чтобы сравнить угловые коэффициенты.

Первое уравнение: $2y - x = 4$. Выразим $y$: $2y = x + 4$, откуда $y = \frac{1}{2}x + 2$, или $y = 0,5x + 2$. Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = 0,5$.

Второе уравнение: $y - 2x = 0$. Выразим $y$: $y = 2x$. Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = 2$.

Сравниваем угловые коэффициенты: $k_1 = 0,5$ и $k_2 = 2$. Так как $k_1 \neq k_2$ ($0,5 \neq 2$), то прямые имеют разные наклоны и пересекаются в одной точке.

Следовательно, система уравнений имеет одно решение.

Ответ: Графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Система имеет одно решение.

в) Рассмотрим систему уравнений: $\begin{cases} y = 0,5x + 2 \\ y = 0,5x - 4 \end{cases}$.

Оба уравнения уже представлены в виде $y = kx + b$.

Для первого уравнения $y = 0,5x + 2$: угловой коэффициент $k_1 = 0,5$, точка пересечения с осью Y $b_1 = 2$.

Для второго уравнения $y = 0,5x - 4$: угловой коэффициент $k_2 = 0,5$, точка пересечения с осью Y $b_2 = -4$.

Сравниваем угловые коэффициенты и точки пересечения с осью Y. Угловые коэффициенты равны: $k_1 = k_2 = 0,5$. Точки пересечения с осью Y различны: $b_1 \neq b_2$ ($2 \neq -4$).

Если угловые коэффициенты прямых равны, а точки пересечения с осью Y различны, то прямые параллельны и не пересекаются.

Поскольку графики не имеют общих точек, система уравнений не имеет решений.

Ответ: Графики уравнений (прямые) параллельны. Система не имеет решений.