Номер 688, страница 161 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 688, страница 161.

688. (Для работы в парах.) Имеет ли решения система уравнений и сколько:

1) Обсудите друг с другом, от чего зависит ответ на вопрос задачи.

2) Выполните совместно задание а).

3) Распределите, кто выполняет задание б), а кто — задание в), и выполните их.

4) Проверьте друг у друга правильность выполнения заданий и исправьте ошибки, если они допущены.

a) $\left\{\begin{array}{l}7x+y=8\\ x-y+3=0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=8-7x\\ y=x+3\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=-7$, $k_2=1$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

б) $\left\{\begin{array}{l}6y-4x=7\\ 8x-12y=-14\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}6y=7+4x\\ 12y=8x+14\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4x+7}{6}\\ y=\frac{8x+14}{12}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{6}x+\frac{7}{6}\\ y=\frac{8}{12}x+\frac{14}{12}\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\\ y=\frac{2}{3}x+\frac{7}{6}\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=k_2=\frac{2}{3}$; $b_1=b_2=\frac{7}{6}$, то прямые совпадают.

Ответ: бесконечно много решений

в) $\left\{\begin{array}{l}x-2y=6\\ y=-4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2y=x-6\\ y=-4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{x-6}{2}\\ y=-4x\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x-3\\ y=-4x\end{array}\right.$

Т.к. $k_1=\frac{1}{2}$, $k_2=-4$, $k_1\mathrm{\ne }{k}_{2}k\_1\; \backslash neq\; k\_2$, то прямые пересекаются.

Ответ: одно решение

Ответ на вопрос о количестве решений системы линейных уравнений зависит от соотношения коэффициентов при переменных и свободных членов в этих уравнениях. Для системы общего вида:

$$ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} $$

существует три возможных варианта:

1. Если отношение коэффициентов при $x$ не равно отношению коэффициентов при $y$, то есть $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$, то система имеет одно единственное решение. Графически это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются в одной точке.
2. Если отношения коэффициентов при переменных равны между собой, но не равны отношению свободных членов, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$, то система не имеет решений. Графически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.
3. Если отношения коэффициентов при переменных и свободных членов равны, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$, то система имеет бесконечно много решений. Графически это означает, что прямые совпадают.

а)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 7x+y=8 \\ x-y+3=0 \end{cases} $$

Приведем второе уравнение к стандартному виду $ax+by=c$, перенеся свободный член в правую часть:

$$ x-y = -3 $$

Теперь система имеет вид:

$$ \begin{cases} 7x+y=8 \\ x-y=-3 \end{cases} $$

Для определения количества решений сравним отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{1} = 7$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$.

Так как $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ (поскольку $7 \neq -1$), система имеет одно решение. Найдем его методом алгебраического сложения. Сложим два уравнения системы:

$(7x+y) + (x-y) = 8 + (-3)$

$8x = 5$

$x = \frac{5}{8}$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение:

$7\left(\frac{5}{8}\right) + y = 8$

$\frac{35}{8} + y = 8$

$y = 8 - \frac{35}{8} = \frac{64 - 35}{8} = \frac{29}{8}$

Таким образом, система имеет одно решение $(\frac{5}{8}, \frac{29}{8})$.

Ответ: система имеет одно решение.

б)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} 6y-4x=7 \\ 8x-12y=-14 \end{cases} $$

Приведем оба уравнения к стандартному виду $ax+by=c$:

$$ \begin{cases} -4x+6y=7 \\ 8x-12y=-14 \end{cases} $$

Сравним отношения коэффициентов при переменных и свободных членов:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

$\frac{b_1}{b_2} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2}$

$\frac{c_1}{c_2} = \frac{7}{-14} = -\frac{1}{2}$

Поскольку все три отношения равны ($\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$), система имеет бесконечно много решений. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Чтобы убедиться в этом, можно разделить второе уравнение на -2:

$(8x-12y) \div (-2) = -14 \div (-2)$

$-4x+6y = 7$

Полученное уравнение идентично первому уравнению системы.

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

в)

Рассмотрим систему:

$$ \begin{cases} x-2y=6 \\ y=-4x \end{cases} $$

Данная система удобна для решения методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x - 2(-4x) = 6$

$x + 8x = 6$

$9x = 6$

$x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:

$y = -4 \cdot \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}$

Система имеет одно решение $(\frac{2}{3}, -\frac{8}{3})$.

Можно также проверить это, используя анализ коэффициентов. Приведем систему к стандартному виду:

$$ \begin{cases} x-2y=6 \\ 4x+y=0 \end{cases} $$

Отношения коэффициентов: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{4}$ и $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{1} = -2$.

Так как $\frac{1}{4} \neq -2$, система имеет одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.