Номер 682, страница 160 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 682, страница 160.

682. (Для работы в парах.) Постройте график уравнения:

а) (x – 5)(y + 6) = 0;

б) (x – 4)(x + 2) = 0.

1) Обсудите, какая фигура является графиком уравнения в каждом случае.

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли построены графики уравнений.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} (x-5)(y+6)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-5=0& \text{или}& y+6=0\\ x=5& & y=-6\end{array} \end{gathered}$$

Две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} (x-4)(y+2)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-4=0& \text{или}& y+2=0\\ x=4& & y=-2\end{array} \end{gathered}$$

а) $(x - 5)(y + 6) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x - 5 = 0$ или $y + 6 = 0$.

Решим каждое из этих уравнений:

1) $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.

Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$) и проходящая через точку с координатами $(5, 0)$. Все точки этой прямой имеют абсциссу, равную 5.

2) $y + 6 = 0 \Rightarrow y = -6$.

Графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку с координатами $(0, -6)$. Все точки этой прямой имеют ординату, равную -6.

Таким образом, графиком исходного уравнения $(x - 5)(y + 6) = 0$ является объединение (совокупность) графиков двух прямых: $x = 5$ и $y = -6$. Так как прямая $x = 5$ вертикальна, а прямая $y = -6$ горизонтальна, они перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке $(5, -6)$.

Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых $x = 5$ и $y = -6$.

б) $(x - 4)(x + 2) = 0$

По аналогии с предыдущим пунктом, произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x - 4 = 0$ или $x + 2 = 0$.

В этом уравнении отсутствует переменная $y$, это означает, что для любого значения $y$ решениями будут значения $x$, удовлетворяющие одному из этих уравнений.

Решим каждое уравнение:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(4, 0)$.

2) $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Графиком этого уравнения является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(-2, 0)$.

Графиком исходного уравнения $(x - 4)(x + 2) = 0$ является объединение этих двух прямых: $x = 4$ и $x = -2$. Так как обе прямые параллельны оси $Oy$, они параллельны друг другу.

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x = 4$ и $x = -2$.