Номер 681, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 681, страница 159.

681. Постройте график уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} y-x^2=0 \\ y=x^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} y-x^3=0 \\ y=x^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 0,5xy+1,5=0 \\ 0,5xy=-1,5 \\ xy=\frac{-1,5}{0,5} \\ xy=-3 \\ y=\frac{-3}{x} \end{gathered}$$

x	0,5	1	1,5	3	-0,5	-1	-1,5	-3
y	-6	-3	-2	-1	6	3	2	1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} y+x^3=0 \\ y=-x^3 \end{gathered}$$

а) Преобразуем уравнение $y - x^2 = 0$, выразив $y$ через $x$: $y = x^2$. Это уравнение является функцией $y(x) = x^2$, графиком которой является парабола. Вершина этой параболы находится в начале координат, в точке (0, 0). Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы направлены вверх. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- при $x=0$, $y=0^2=0$, точка (0, 0);
- при $x=1$, $y=1^2=1$, точка (1, 1);
- при $x=-1$, $y=(-1)^2=1$, точка (-1, 1);
- при $x=2$, $y=2^2=4$, точка (2, 4);
- при $x=-2$, $y=(-2)^2=4$, точка (-2, 4).
Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график параболы.
Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с вершиной в точке (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

б) Преобразуем уравнение $y - x^3 = 0$, выразив $y$ через $x$: $y = x^3$. Это уравнение является функцией $y(x) = x^3$, графиком которой является кубическая парабола. График проходит через начало координат (0, 0) и расположен в I и III координатных четвертях. Он симметричен относительно начала координат. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- при $x=0$, $y=0^3=0$, точка (0, 0);
- при $x=1$, $y=1^3=1$, точка (1, 1);
- при $x=-1$, $y=(-1)^3=-1$, точка (-1, -1);
- при $x=2$, $y=2^3=8$, точка (2, 8);
- при $x=-2$, $y=(-2)^3=-8$, точка (-2, -8).
Отметив эти точки и соединив их плавной кривой, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = x^3$, проходящая через начало координат.

в) Преобразуем уравнение $0,5xy + 1,5 = 0$. Сначала перенесем 1,5 в правую часть: $0,5xy = -1,5$. Теперь выразим $y$ через $x$. При этом необходимо учесть, что $x \neq 0$, иначе уравнение теряет смысл.
$y = \frac{-1,5}{0,5x}$
$y = -\frac{3}{x}$
Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k = -3$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ и $y=0$. Найдем координаты нескольких точек для каждой ветви:
Для ветви в IV четверти ($x>0$):
- при $x=1$, $y = -3/1 = -3$, точка (1, -3);
- при $x=3$, $y = -3/3 = -1$, точка (3, -1).
Для ветви во II четверти ($x<0$):
- при $x=-1$, $y = -3/(-1) = 3$, точка (-1, 3);
- при $x=-3$, $y = -3/(-3) = 1$, точка (-3, 1).
Ответ: Графиком уравнения является гипербола $y = -3/x$, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

г) Преобразуем уравнение $y + x^3 = 0$, выразив $y$ через $x$: $y = -x^3$. Это уравнение является функцией $y(x) = -x^3$, графиком которой является кубическая парабола. Этот график симметричен графику функции $y = x^3$ относительно оси Ox (или оси Oy). Он проходит через начало координат (0, 0) и расположен во II и IV координатных четвертях. Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- при $x=0$, $y=-(0)^3=0$, точка (0, 0);
- при $x=1$, $y=-(1)^3=-1$, точка (1, -1);
- при $x=-1$, $y=-(-1)^3=1$, точка (-1, 1);
- при $x=2$, $y=-(2)^3=-8$, точка (2, -8);
- при $x=-2$, $y=-(-2)^3=8$, точка (-2, 8).
Соединив эти точки плавной кривой, получим искомый график.
Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = -x^3$, проходящая через начало координат.