Номер 680, страница 159 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 680, страница 159.

680. Составьте уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке 29.

a) x=3 или y=3

(x-3)(y-3)=0

б) x=-2 или y=-2

(x+2)(y+2)=0

в) y=-2 или y=2

(y+2)(y-2)=0

г) x=-2 или x=4

(x+2)(x-4)=0

а) График, изображённый на рисунке, представляет собой объединение двух прямых: вертикальной прямой и горизонтальной прямой. Вертикальная прямая проходит через все точки, у которых абсцисса (координата $x$) равна 3. Её уравнение: $x = 3$. Это уравнение можно переписать в виде $x - 3 = 0$. Горизонтальная прямая проходит через все точки, у которых ордината (координата $y$) равна 3. Её уравнение: $y = 3$. Это уравнение можно переписать в виде $y - 3 = 0$. График является множеством всех точек, которые принадлежат либо первой, либо второй прямой. Это означает, что координаты точки $(x, y)$ должны удовлетворять хотя бы одному из уравнений: $x - 3 = 0$ или $y - 3 = 0$. В алгебре условие "A=0 или B=0" эквивалентно уравнению $A \cdot B = 0$. Применяя это правило, мы можем объединить два уравнения в одно: $(x - 3)(y - 3) = 0$. Это и есть искомое уравнение с двумя переменными, график которого изображён на рисунке.
Ответ: $(x-3)(y-3)=0$.

б) На графике изображены две перпендикулярные прямые. Вертикальная прямая проходит через точку $(-2, 0)$ и параллельна оси $y$. Для всех точек на этой прямой координата $x$ постоянна и равна -2. Уравнение этой прямой: $x = -2$, или $x + 2 = 0$. Горизонтальная прямая проходит через точку $(0, -2)$ и параллельна оси $x$. Для всех точек на этой прямой координата $y$ постоянна и равна -2. Уравнение этой прямой: $y = -2$, или $y + 2 = 0$. График представляет собой объединение этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если выполняется условие $x + 2 = 0$ или $y + 2 = 0$. Объединим эти два условия в одно уравнение, используя свойство равенства произведения нулю: $(x + 2)(y + 2) = 0$.
Ответ: $(x+2)(y+2)=0$.

в) На графике изображены две параллельные горизонтальные прямые. Верхняя прямая параллельна оси $x$ и проходит через точку $(0, 2)$. Уравнение этой прямой: $y = 2$, что эквивалентно $y - 2 = 0$. Нижняя прямая также параллельна оси $x$ и проходит через точку $(0, -1.5)$. Уравнение этой прямой: $y = -1.5$. Перепишем его как $y + 1.5 = 0$. Чтобы избавиться от десятичной дроби, можно умножить обе части на 2, получив $2y + 3 = 0$. График является объединением этих двух прямых, поэтому точка $(x, y)$ принадлежит ему, если $y - 2 = 0$ или $2y + 3 = 0$. Составим общее уравнение: $(y - 2)(2y + 3) = 0$. Это уравнение с двумя переменными, где переменная $x$ может принимать любое действительное значение, так как она не входит в уравнение в явном виде.
Ответ: $(y-2)(2y+3)=0$.

г) На графике изображены две параллельные вертикальные прямые. Левая прямая параллельна оси $y$ и проходит через точку $(-2, 0)$. Для всех её точек координата $x$ равна -2. Уравнение этой прямой: $x = -2$, или $x + 2 = 0$. Правая прямая также параллельна оси $y$ и проходит через точку $(4, 0)$. Для всех её точек координата $x$ равна 4. Уравнение этой прямой: $x = 4$, или $x - 4 = 0$. График является объединением этих двух прямых. Точка $(x, y)$ принадлежит графику, если её координаты удовлетворяют условию $x + 2 = 0$ или $x - 4 = 0$. Объединим эти условия в одно уравнение: $(x + 2)(x - 4) = 0$. В этом уравнении переменная $y$ может принимать любое действительное значение.
Ответ: $(x+2)(x-4)=0$.