Номер 676, страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

28. Уравнение с двумя переменными и его график. § 10. Уравнения с двумя переменными и их системы. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 676, страница 158.

676. Объясните, почему графиком уравнения x² – y² = 0 является пара прямых у = х и у = –х.

$$\begin{gathered} x^2-y^2=0 \\ (x-y)(x+y)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-y=0& \text{или}& x+y=0\\ y=x& & y=-x\end{array} \end{gathered}$$

Графиком уравнения является множество всех точек на координатной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют этому уравнению. Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - y^2 = 0$.

Левая часть этого уравнения представляет собой разность квадратов. Мы можем использовать алгебраическую формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, чтобы разложить выражение на множители. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.

Применив формулу, мы преобразуем исходное уравнение к виду:
$(x - y)(x + y) = 0$

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих выражений равно нулю. Это свойство позволяет нам разбить одно уравнение на два более простых:
1) $x - y = 0$
2) $x + y = 0$

Теперь выразим $y$ в каждом из этих уравнений:
Из первого уравнения $x - y = 0$ получаем $y = x$.
Из второго уравнения $x + y = 0$ получаем $y = -x$.

Таким образом, множество всех точек, удовлетворяющих уравнению $x^2 - y^2 = 0$, является объединением множеств точек, удовлетворяющих уравнениям $y=x$ и $y=-x$. Каждое из этих уравнений задает прямую линию на плоскости.

- Уравнение $y = x$ задает прямую, проходящую через начало координат и являющуюся биссектрисой I и III координатных четвертей.
- Уравнение $y = -x$ задает прямую, проходящую через начало координат и являющуюся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

В результате, график исходного уравнения $x^2 - y^2 = 0$ состоит из этих двух пересекающихся прямых.

Ответ: Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ эквивалентно уравнению $(x-y)(x+y)=0$. Это равенство истинно, если либо $x-y=0$, либо $x+y=0$. Эти два случая приводят к двум линейным уравнениям: $y=x$ и $y=-x$. Графиком каждого из этих уравнений является прямая линия. Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых, то есть пару прямых.