Страница 158 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

674. Графики линейных уравнений 2х – у = 4, х – у = –2, у + 4 = 0, х – 6 = 0 изображены на рисунке 26. Для каждой из прямых, изображённых на этом рисунке, укажите её уравнение.

2x-y=4

y=2x-4

Ответ: b)

x-y=-2

y=x+2

Ответ: a)

y+4=0

y=-4

Ответ: d)

x-6=0

x=6

Ответ: c)

Для того чтобы определить, какое уравнение соответствует каждой из прямых, проанализируем каждую прямую отдельно, определив ее ключевые характеристики (точки пересечения с осями, угловой коэффициент) по графику, а затем сопоставим с предложенными уравнениями.

a. Прямая a проходит через точки с координатами $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Найдем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Для наших точек получаем $k = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Прямая пересекает ось ординат в точке $(0, 2)$, следовательно, свободный член $b=2$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, то есть $y = 1 \cdot x + 2$ или $y = x + 2$. Преобразуем это уравнение: $x - y = -2$. Это соответствует второму уравнению в условии.
Ответ: $x - y = -2$.

b. Прямая b проходит через точки с координатами $(2, 0)$ и $(3, 2)$. Найдем угловой коэффициент: $k = \frac{2 - 0}{3 - 2} = \frac{2}{1} = 2$. Теперь воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с известным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставив координаты точки $(2, 0)$ и $k=2$, получим: $y - 0 = 2(x - 2)$, откуда $y = 2x - 4$. Преобразуем это уравнение: $2x - y = 4$. Это соответствует первому уравнению в условии.
Ответ: $2x - y = 4$.

c. Прямая c — это вертикальная линия. Все точки на этой прямой имеют одинаковую абсциссу (координату $x$). Из графика видно, что эта прямая проходит через точку $(6, 0)$, следовательно, ее уравнение $x = 6$. Преобразуем это уравнение, перенеся 6 в левую часть: $x - 6 = 0$. Это соответствует четвертому уравнению в условии.
Ответ: $x - 6 = 0$.

d. Прямая d — это горизонтальная линия. Все точки на этой прямой имеют одинаковую ординату (координату $y$). Из графика видно, что эта прямая проходит через точку $(0, -4)$, следовательно, ее уравнение $y = -4$. Преобразуем это уравнение, перенеся -4 в левую часть: $y + 4 = 0$. Это соответствует третьему уравнению в условии.
Ответ: $y + 4 = 0$.

675. Постройте график уравнения:

a) 3x+0y=12

3x=12

x=4

б) 0x+y=1

y=1

в) x=5

г) y=1,5

д) (x-2)(y-3)=0

x-2=0; x=2 или y-3=0; y=3

е) (x+3)(y+1)=0

x+3=0; x=-3 или y+1=0; y=-1

ж) |x|=2

x=2 или x=-2

з) |y|=3

y=3 или y=-3

а) Уравнение $3x + 0y = 12$ можно упростить. Так как любое число, умноженное на ноль, дает ноль, слагаемое $0y$ равно нулю при любом значении $y$.
Получаем:
$3x = 12$
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$
Это уравнение задает прямую, все точки которой имеют абсциссу (координату $x$), равную 4. Такая прямая является вертикальной и проходит через точку $(4; 0)$ параллельно оси ординат $Oy$.
Ответ: Графиком уравнения является вертикальная прямая $x = 4$.

б) Упростим уравнение $0x + y = 1$. Слагаемое $0x$ равно нулю при любом значении $x$.
Получаем:
$y = 1$
Это уравнение задает прямую, все точки которой имеют ординату (координату $y$), равную 1. Такая прямая является горизонтальной и проходит через точку $(0; 1)$ параллельно оси абсцисс $Ox$.
Ответ: Графиком уравнения является горизонтальная прямая $y = 1$.

в) Уравнение $x = 5$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых абсцисса (координата $x$) равна 5, а ордината (координата $y$) может быть любой. Графиком является вертикальная прямая, параллельная оси $Oy$ и проходящая через точку $(5; 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является вертикальная прямая $x = 5$.

г) Уравнение $y = 1,5$ задает множество всех точек на координатной плоскости, у которых ордината (координата $y$) равна 1,5, а абсцисса (координата $x$) может быть любой. Графиком является горизонтальная прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0; 1,5)$.
Ответ: Графиком уравнения является горизонтальная прямая $y = 1,5$.

д) Уравнение $(x - 2)(y - 3) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Следовательно, уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
$x - 2 = 0$ или $y - 3 = 0$
$x = 2$ или $y = 3$
Графиком уравнения $x = 2$ является вертикальная прямая.
Графиком уравнения $y = 3$ является горизонтальная прямая.
График исходного уравнения является объединением этих двух прямых.
Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых: $x = 2$ и $y = 3$, пересекающихся в точке $(2; 3)$.

е) Аналогично предыдущему пункту, уравнение $(x + 3)(y + 1) = 0$ равносильно совокупности двух уравнений:
$x + 3 = 0$ или $y + 1 = 0$
$x = -3$ или $y = -1$
Графиком является объединение двух прямых: вертикальной прямой $x = -3$ и горизонтальной прямой $y = -1$.
Ответ: Графиком уравнения является пара перпендикулярных прямых: $x = -3$ и $y = -1$, пересекающихся в точке $(-3; -1)$.

ж) Уравнение $|x| = 2$ содержит переменную под знаком модуля. По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$x = 2$ или $x = -2$
Графиком является объединение двух вертикальных прямых, параллельных оси $Oy$. Первая прямая проходит через точку $(2; 0)$, вторая — через точку $(-2; 0)$.
Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных вертикальных прямых: $x = 2$ и $x = -2$.

з) Уравнение $|y| = 3$ содержит переменную под знаком модуля. По определению модуля, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
$y = 3$ или $y = -3$
Графиком является объединение двух горизонтальных прямых, параллельных оси $Ox$. Первая прямая проходит через точку $(0; 3)$, вторая — через точку $(0; -3)$.
Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных горизонтальных прямых: $y = 3$ и $y = -3$.

676. Объясните, почему графиком уравнения x² – y² = 0 является пара прямых у = х и у = –х.

$$\begin{gathered} x^2-y^2=0 \\ (x-y)(x+y)=0 \\ \begin{array}{lcl}x-y=0& \text{или}& x+y=0\\ y=x& & y=-x\end{array} \end{gathered}$$

Графиком уравнения является множество всех точек на координатной плоскости, координаты $(x, y)$ которых удовлетворяют этому уравнению. Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - y^2 = 0$.

Левая часть этого уравнения представляет собой разность квадратов. Мы можем использовать алгебраическую формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, чтобы разложить выражение на множители. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.

Применив формулу, мы преобразуем исходное уравнение к виду:
$(x - y)(x + y) = 0$

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из этих выражений равно нулю. Это свойство позволяет нам разбить одно уравнение на два более простых:
1) $x - y = 0$
2) $x + y = 0$

Теперь выразим $y$ в каждом из этих уравнений:
Из первого уравнения $x - y = 0$ получаем $y = x$.
Из второго уравнения $x + y = 0$ получаем $y = -x$.

Таким образом, множество всех точек, удовлетворяющих уравнению $x^2 - y^2 = 0$, является объединением множеств точек, удовлетворяющих уравнениям $y=x$ и $y=-x$. Каждое из этих уравнений задает прямую линию на плоскости.

- Уравнение $y = x$ задает прямую, проходящую через начало координат и являющуюся биссектрисой I и III координатных четвертей.
- Уравнение $y = -x$ задает прямую, проходящую через начало координат и являющуюся биссектрисой II и IV координатных четвертей.

В результате, график исходного уравнения $x^2 - y^2 = 0$ состоит из этих двух пересекающихся прямых.

Ответ: Уравнение $x^2 - y^2 = 0$ эквивалентно уравнению $(x-y)(x+y)=0$. Это равенство истинно, если либо $x-y=0$, либо $x+y=0$. Эти два случая приводят к двум линейным уравнениям: $y=x$ и $y=-x$. Графиком каждого из этих уравнений является прямая линия. Следовательно, график исходного уравнения представляет собой объединение этих двух прямых, то есть пару прямых.

677. Постройте на координатной плоскости график линейного уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}3x-2y=5 \\ 2y=3x-5 \\ y=\frac{3x-5}{2} \\ y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2} \\ y=1,5x-2,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}x+2y-3=0 \\ 2y=3-x \\ y=\frac{3-x}{2} \\ y=1,5-0,5x \\ y=-0,5x+1,5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}3x-4y=-1 \\ 4y=3x+1 \\ y=\frac{3x+1}{4} \\ y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4} \end{gathered}$$

а) $3x - 2y = 5$

Графиком линейного уравнения является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Для удобства выразим переменную $y$ через $x$.

$3x - 2y = 5$

$-2y = 5 - 3x$

$2y = 3x - 5$

$y = \frac{3x - 5}{2}$

Теперь выберем два произвольных значения $x$ и найдем для них соответствующие значения $y$:

1. Если $x = 1$, то $y = \frac{3 \cdot 1 - 5}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$. Получили точку с координатами $(1, -1)$.

2. Если $x = 3$, то $y = \frac{3 \cdot 3 - 5}{2} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Получили точку с координатами $(3, 2)$.

Отметим на координатной плоскости точки $(1, -1)$ и $(3, 2)$ и проведем через них прямую. Эта прямая является графиком уравнения $3x - 2y = 5$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(1, -1)$ и $(3, 2)$.

б) $x + 2y - 3 = 0$

Сначала выразим переменную $y$ через $x$:

$x + 2y - 3 = 0$

$2y = 3 - x$

$y = \frac{3 - x}{2}$

Теперь найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:

1. Если $x = 1$, то $y = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Получили точку с координатами $(1, 1)$.

2. Если $x = 3$, то $y = \frac{3 - 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$. Получили точку с координатами $(3, 0)$.

Построив точки $(1, 1)$ и $(3, 0)$ на координатной плоскости и соединив их, получим график данного уравнения.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(3, 0)$.

в) $3x - 4y = -1$

Выразим переменную $y$ через $x$:

$3x - 4y = -1$

$-4y = -1 - 3x$

$4y = 3x + 1$

$y = \frac{3x + 1}{4}$

Найдем координаты двух точек. Чтобы получить целые значения координат, подберем удобные значения $x$.

1. Если $x = 1$, то $y = \frac{3 \cdot 1 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$. Получили точку с координатами $(1, 1)$.

2. Если $x = -3$, то $y = \frac{3 \cdot (-3) + 1}{4} = \frac{-9 + 1}{4} = \frac{-8}{4} = -2$. Получили точку с координатами $(-3, -2)$.

График уравнения — это прямая, которая проходит через точки $(1, 1)$ и $(-3, -2)$.

Ответ: Графиком является прямая, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(-3, -2)$.

678. На рис. 27 изображён график одного из следующих линейных уравнений: х – у = –7, х – у = 4, 2х + у = 6, х + у = 5. Укажите это уравнение.

Выберем на графике точки (3;0) и (0;6)

y=kx+b

$\left\{\begin{array}{l}k·3+b=0\\ k·0+b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}3k+6=0\\ b=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}3k=-6\\ b=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=6\end{array}\right.$

y=-2x+6

2x+y=6

Ответ: 2x+y=6

Для того чтобы определить, какое из предложенных уравнений соответствует графику, можно пойти двумя путями: составить уравнение прямой по точкам на графике или проверить, какому из уравнений удовлетворяют координаты точек с графика.

Способ 1: Проверка точек с графика

Найдем на графике координаты двух любых точек, через которые проходит прямая. Удобнее всего взять точки пересечения с осями координат.
1. Точка пересечения с осью $y$ (осью ординат). В этой точке $x=0$. Из графика видим, что при $x=0$, $y=6$. Получаем точку $A(0, 6)$.
2. Точка пересечения с осью $x$ (осью абсцисс). В этой точке $y=0$. Из графика видим, что при $y=0$, $x=3$. Получаем точку $B(3, 0)$.
Теперь поочередно подставим координаты этих точек в каждое из предложенных уравнений. Искомое уравнение должно выполняться для обеих точек.

• Проверяем уравнение $x - y = -7$.
  Для точки $A(0, 6)$: $0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq -7$, это уравнение не подходит.
• Проверяем уравнение $x - y = 4$.
  Для точки $B(3, 0)$: $3 - 0 = 3$. Так как $3 \neq 4$, это уравнение не подходит.
• Проверяем уравнение $2x + y = 6$.
  Для точки $A(0, 6)$: $2 \cdot 0 + 6 = 0 + 6 = 6$. Равенство $6 = 6$ верно.
  Для точки $B(3, 0)$: $2 \cdot 3 + 0 = 6 + 0 = 6$. Равенство $6 = 6$ также верно.
  Так как координаты обеих точек удовлетворяют этому уравнению, оно является искомым.
• Проверяем уравнение $x + y = 5$.
  Для точки $A(0, 6)$: $0 + 6 = 6$. Так как $6 \neq 5$, это уравнение не подходит.

Способ 2: Составление уравнения прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси $x$), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 6)$, следовательно, свободный член $b = 6$.
Угловой коэффициент $k$ можно найти, используя координаты двух точек, например, $A(0, 6)$ и $B(3, 0)$:$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 6}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2$.
Теперь подставим найденные значения $k=-2$ и $b=6$ в уравнение прямой:$y = -2x + 6$.
Преобразуем это уравнение к виду, в котором даны варианты ответов ( $ax + by = c$ ), перенеся слагаемое $-2x$ в левую часть уравнения:$2x + y = 6$.
Полученное уравнение совпадает с третьим вариантом в условии задачи.

Ответ: $2x + y = 6$

679. Составьте уравнение, графиком которого является пара прямых, изображённых на рисунке 28.

a) x=1 или y=1

(x-1)(y-1)=0

б) x=-1 или y=x

(x+1)(x-y)=0

в) x=-2 или x=1

(x+2)(x-1)=0

г) y=-1 или y=2

(y+1)(y-2)=0

а)

На рисунке изображены две прямые: одна горизонтальная и одна вертикальная.

Первая прямая — горизонтальная, она проходит через все точки с ординатой $y = 2$. Уравнение этой прямой: $y = 2$, или в общем виде $y - 2 = 0$.

Вторая прямая — вертикальная, она проходит через все точки с абсциссой $x = 1$. Уравнение этой прямой: $x = 1$, или в общем виде $x - 1 = 0$.

График, который является объединением двух линий, заданных уравнениями $F_1(x, y) = 0$ и $F_2(x, y) = 0$, описывается уравнением $F_1(x, y) \cdot F_2(x, y) = 0$. Это wynikaет из того, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Следовательно, искомое уравнение, описывающее пару данных прямых, является произведением их уравнений: $(x - 1)(y - 2) = 0$.

Ответ: $(x - 1)(y - 2) = 0$.

б)

На рисунке изображены две прямые: одна вертикальная и одна наклонная.

Вертикальная прямая проходит через точку $(-2, 0)$ параллельно оси ординат. Уравнение этой прямой: $x = -2$, или в общем виде $x + 2 = 0$.

Наклонная прямая проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$. Её уравнение можно найти в виде $y = kx + b$.

Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения с осью $y$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$.

Угловой коэффициент $k$ можно найти по двум точкам $(x_1, y_1) = (-1, 0)$ и $(x_2, y_2) = (0, 1)$ по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{0 - (-1)} = \frac{1}{1} = 1$.

Значит, уравнение наклонной прямой: $y = 1 \cdot x + 1$, или $y = x + 1$. В общем виде это уравнение можно записать как $y - x - 1 = 0$.

Общее уравнение для пары этих прямых является произведением их уравнений: $(x + 2)(y - x - 1) = 0$.

Ответ: $(x + 2)(y - x - 1) = 0$.

в)

На рисунке изображены две вертикальные прямые.

Первая вертикальная прямая проходит через точку $(-2, 0)$ параллельно оси ординат. Её уравнение: $x = -2$, или $x + 2 = 0$.

Вторая вертикальная прямая проходит через точку $(1, 0)$ параллельно оси ординат. Её уравнение: $x = 1$, или $x - 1 = 0$.

Общее уравнение для пары этих прямых является произведением их индивидуальных уравнений: $(x + 2)(x - 1) = 0$.

Это уравнение можно также представить в раскрытом виде: $x^2 + x - 2 = 0$.

Ответ: $(x + 2)(x - 1) = 0$.

г)

На рисунке изображены две горизонтальные прямые.

Первая горизонтальная прямая проходит через точку $(0, 2)$ параллельно оси абсцисс. Её уравнение: $y = 2$, или $y - 2 = 0$.

Вторая горизонтальная прямая проходит через точку $(0, -1)$ параллельно оси абсцисс. Её уравнение: $y = -1$, или $y + 1 = 0$.

Общее уравнение для пары этих прямых является произведением их индивидуальных уравнений: $(y - 2)(y + 1) = 0$.

Это уравнение можно также представить в раскрытом виде: $y^2 - y - 2 = 0$.

Ответ: $(y - 2)(y + 1) = 0$.