Страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

659. Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 15 км/ч, прошла по течению реки 35 км, а против течения — 25 км. По течению она шла столько же времени, сколько против течения. Какова скорость течения реки?

Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда (15+x)км/ч - скорость по течению, (15-х)км/ч - скорость против течения. Найдем время, потраченное моторной лодкой на путь по течению и против течения:

$t_1={\displaystyle \frac{35}{15+x}}t\_1=\; \backslash frac\{35\}\{15+x\}$ ч – время, потраченное на путь по течению,

$t_2={\displaystyle \frac{25}{15-x}}t\_2=\; \backslash frac\{25\}\{15-x\}$ ч - время, потраченное на путь против течения.

Зная, что $t_1=t_{2}t\_1=t\_2$, составим и решим уравнении:

$$\begin{gathered} \frac{35}{15+x}=\frac{25}{15-x} \mathrm{/}·\left(15+x\right)·\left(15-x\right) \\ 35\left(15-x\right)=25\left(15+x\right) \\ 525-35x=375+25x \\ 525-375=25x+35x \\ 150=60x \\ x=150:60 \\ x=2,5 \end{gathered}$$

Ответ: 2,5 км/ч

Пусть искомая скорость течения реки равна $x$ км/ч.

Скорость моторной лодки в стоячей воде (собственная скорость) равна $v_{собст} = 15$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, её скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = v_{собст} + x = (15 + x)$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, её скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = v_{собст} - x = (15 - x)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Лодка прошла по течению 35 км. Время, затраченное на этот путь, составляет: $t_{по} = \frac{35}{15 + x}$ ч.

Лодка прошла против течения 25 км. Время, затраченное на этот путь, составляет: $t_{против} = \frac{25}{15 - x}$ ч.

Согласно условию задачи, время движения по течению равно времени движения против течения: $t_{по} = t_{против}$.

Составим уравнение, приравняв выражения для времени: $\frac{35}{15 + x} = \frac{25}{15 - x}$

Для решения этого уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $35 \cdot (15 - x) = 25 \cdot (15 + x)$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы упростить вычисления: $7 \cdot (15 - x) = 5 \cdot (15 + x)$

Раскроем скобки: $105 - 7x = 75 + 5x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а свободные члены — в левой: $105 - 75 = 5x + 7x$

$30 = 12x$

Теперь найдем $x$: $x = \frac{30}{12}$

Сократим дробь на 6: $x = \frac{5}{2} = 2,5$

Следовательно, скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.

Ответ: 2,5 км/ч.

660. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда (20+х)км/ч - скорость по течению, (20-х)км/ч - скорость против течения. Найдём время, потраченное катером на путь по течению и против течения:

$t_1={\displaystyle \frac{36}{20-x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{36\}\{20-x\}$ ч - время, потраченное на путь против течения,

$t_2={\displaystyle \frac{22}{20+x}}t\_2\; =\; \backslash frac\{22\}\{20+x\}$ ч - время, потраченное на путь по течению.

Зная, что $t_1+t_2=3\text{ч,}$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{36}{20-x}+\frac{22}{20+x}=3 /·\left(20-x\right)\left(20+x\right) \\ 36\left(20+x\right)+22\left(20-x\right)=3·\left(20-x\right)\left(20+x\right) \\ 720+36x+440-22x=3·\left(400-x^2\right) \\ 14x+1160=1200-3x^2 \\ 3x^2+14x+1160-1200=0 \\ 3x^2+14x-40=0 \\ D=14^2-4·3·\left(-40\right)=196+480=676 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{676}}{6}; x=\frac{-14\pm 26}{6} \end{gathered}$$

$x_1=2; x_2=\frac{-40}{6}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 2 км/ч

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. По условию, собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) составляет 20 км/ч.

Тогда скорость катера при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $(20 + x)$ км/ч.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $(20 - x)$ км/ч.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое катер потратил на путь против течения, составляет: $t_{против} = \frac{36}{20 - x}$ часов.

Время, которое катер потратил на путь по течению, составляет: $t_{по} = \frac{22}{20 + x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 3 часа. Мы можем составить уравнение, сложив время движения против течения и по течению: $\frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3$

Для решения этого уравнения необходимо учесть, что скорость течения $x$ должна быть положительной и меньше скорости катера, то есть $0 < x < 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(20 - x)(20 + x)$: $\frac{36(20 + x) + 22(20 - x)}{(20 - x)(20 + x)} = 3$

Умножим обе части уравнения на $(20 - x)(20 + x)$, чтобы избавиться от знаменателя: $36(20 + x) + 22(20 - x) = 3(20 - x)(20 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $720 + 36x + 440 - 22x = 3(400 - x^2)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части: $1160 + 14x = 1200 - 3x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 + 14x + 1160 - 1200 = 0$ $3x^2 + 14x - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-14 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{-14 - \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 26}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$

Скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -\frac{20}{3}$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Проверим полученное решение: Время движения против течения: $\frac{36}{20 - 2} = \frac{36}{18} = 2$ часа. Время движения по течению: $\frac{22}{20 + 2} = \frac{22}{22} = 1$ час. Общее время: $2 + 1 = 3$ часа. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.

661. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.

Пусть x г - первоначальная масса раствора, тогда (x+100)г - новая масса раствора. Зная, что в растворе содержится 30г соли, можно найти концентрацию соли в первоначальном растворе и в новом растворе

${\displaystyle \frac{30}{x}}·100\mathrm{\%} \backslash frac\{30\}\{x\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ - концентрация соли в первоначальном растворе,

$\frac{30}{x+100}·100\mathrm{\%}$ - концентрация соли в новом растворе

Известно, что концентрация соли в новом растворе понизилась на 1%.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{30}{x}·100=\frac{30}{x+100}·100+1 \\ \frac{3000}{x}=\frac{3000}{x+100}+1 \mathrm{/}·x\left(x+100\right) \\ 3000\left(x+100\right)=3000x+x\left(x+100\right) \\ 3000x+300 000=3000x+x^2+100x \\ {x}^2+100x-300 000=0 \\ D=100^2-4·1·\left(-300 000\right)= \\ =10000+1200 000=1210 000 \\ x=\frac{-100\pm \sqrt{1210 000}}{2}; x=\frac{-100\pm 1100}{2} \end{gathered}$$

$x_1=500; x_2=-600$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 500г

Для решения задачи введем переменные:
Пусть $x$ (в граммах) — первоначальная масса раствора.
Масса соли в растворе, по условию, составляет 30 г.

Первоначальная концентрация соли в растворе ($\omega_1$) вычисляется как отношение массы соли к массе всего раствора:
$\omega_1 = \frac{30}{x}$

После добавления 100 г воды масса раствора стала равной $x + 100$ г. Масса соли при этом не изменилась.
Новая концентрация соли ($\omega_2$) в растворе:
$\omega_2 = \frac{30}{x + 100}$

По условию, концентрация понизилась на 1%, что в долях составляет 0,01. Следовательно, разница между первоначальной и новой концентрацией равна 0,01:
$\omega_1 - \omega_2 = 0.01$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 100} = 0.01$

Теперь решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{30(x + 100) - 30x}{x(x + 100)} = 0.01$

Раскроем скобки в числителе:
$\frac{30x + 3000 - 30x}{x^2 + 100x} = 0.01$
$\frac{3000}{x^2 + 100x} = 0.01$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $x^2 + 100x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -100$, что очевидно, так как масса не может быть нулевой или отрицательной):
$3000 = 0.01(x^2 + 100x)$

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$300000 = x^2 + 100x$

Получим стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 100x - 300000 = 0$

Решим его через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300000) = 10000 + 1200000 = 1210000$
$\sqrt{D} = \sqrt{1210000} = 1100$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500$
$x_2 = \frac{-100 - 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600$

Поскольку масса раствора не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -600$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная масса раствора равна 500 г.

Проверим решение:
Первоначальная концентрация: $\omega_1 = \frac{30}{500} \cdot 100\% = 6\%$.
Новая масса раствора: $500 + 100 = 600$ г.
Новая концентрация: $\omega_2 = \frac{30}{600} \cdot 100\% = 5\%$.
Разница концентраций: $6\% - 5\% = 1\%$. Решение верное.

Ответ: 500 г.

662. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Пусть х г серебра было в сплаве, тогда ${\displaystyle \frac{40}{x+40}}·100\mathrm{\%}\backslash frac\{40\}\{x+40\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ - процентное содержание золота в старом сплаве, $\frac{40+50}{x+40+50}·100\mathrm{\%}=\frac{90}{x+90}·100\mathrm{\%}$ - процентное содержание золота в новом сплаве. Зная, что в новом сплаве содержание золота возросло на 20%, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{90}{x+90}·100-\frac{40}{x+40}·100=20 \\ 100\left(\frac{90}{x+90}-\frac{40}{x+40}\right)=20 \\ \frac{90}{x+90}-\frac{40}{x+40}=0,2\mathrm{/}·\left(x+90\right)\left(x+40\right) \\ 90\left(x+40\right)-40\left(x+90\right)=0,2\left(x+90\right)\left(x+40\right) \\ 90x+3600-40x-3600=0,2\left(x^2+130x+3600\right) \\ 50x=0,2x^2+26x+720 \\ 0,2x^2+26x-50x+720=0 \\ 0,2x^2-24x+720=0 \\ {x}^2-120x+3600=0 \\ D=120^2-4·1·3600=14400-14400=0 \\ x=\frac{120}{2}; x=60 \end{gathered}$$

Ответ: 60г

Пусть $x$ г — масса серебра в первоначальном сплаве.Изначально в сплаве было 40 г золота.Тогда общая масса первоначального сплава составляла $(40 + x)$ г.

Концентрация (содержание) золота в первоначальном сплаве — это отношение массы золота к общей массе сплава:$C_1 = \frac{40}{40 + x}$

После того как к сплаву добавили 50 г золота, масса золота в новом сплаве стала $40 + 50 = 90$ г. Масса серебра при этом не изменилась и осталась равной $x$ г.Общая масса нового сплава стала $(40 + x) + 50 = (90 + x)$ г.

Концентрация золота в новом сплаве стала:$C_2 = \frac{90}{90 + x}$

По условию, содержание золота возросло на 20%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 20 процентных пунктов, или 0,2, если выражать концентрацию в долях.Таким образом, мы можем составить уравнение:$C_2 - C_1 = 0.2$$\frac{90}{90 + x} - \frac{40}{40 + x} = 0.2$

Решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(90 + x)(40 + x)$, при условии, что $x > 0$, а значит, знаменатели не равны нулю.$90(40 + x) - 40(90 + x) = 0.2(90 + x)(40 + x)$

Раскроем скобки в левой и правой частях:$3600 + 90x - 3600 - 40x = 0.2(3600 + 90x + 40x + x^2)$$50x = 0.2(x^2 + 130x + 3600)$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 5:$250x = x^2 + 130x + 3600$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 130x - 250x + 3600 = 0$$x^2 - 120x + 3600 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности, так как оно соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.В данном случае $a=x$ и $b=60$, поскольку $2 \cdot x \cdot 60 = 120x$ и $60^2 = 3600$.Свернем уравнение:$(x - 60)^2 = 0$

Из этого следует, что:$x - 60 = 0$$x = 60$Следовательно, масса серебра в первоначальном сплаве составляла 60 г.

Проверим полученный результат:
Первоначальный сплав: 40 г золота и 60 г серебра. Общая масса 100 г. Концентрация золота: $\frac{40}{100} = 0.4$, или 40%.
Новый сплав: $40+50=90$ г золота и 60 г серебра. Общая масса 150 г. Концентрация золота: $\frac{90}{150} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$, или 60%.
Увеличение концентрации: $60\% - 40\% = 20\%$. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 60 г.

663. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?

Пусть х ч потребовалось второму крану, тогда (х+5)ч потребовалось первому крану для разгрузки баржи. Примем всю работу за 1, тогда

${\displaystyle \frac{1}{x}}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - производительность (скорость) работы второго крана,

${\displaystyle \frac{1}{x+5}}\backslash frac\{1\}\{x+5\}$ - производительность (скорость) работ первого крана,

${\displaystyle \frac{1}{6}}\backslash frac\{1\}\{6\}$ - совместная производительность двух кранов

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+5}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6} /·x\left(x+5\right)·6 \\ 6x+6\left(x+5\right)=x\left(x+5\right) \\ 6x+6x+30=x^2+5x \\ 12x+30=x^2+5x \\ {x}^2+5x-12x-30=0 \\ {x}^2-7x-30=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{7\pm 13}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-3$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

10+5=15 (ч) - время выполнения работы первым краном

Ответ: 15ч, 10ч

Пусть вся работа по разгрузке баржи принимается за 1.

Обозначим за $x$ время в часах, за которое второй кран может разгрузить баржу, работая отдельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $1/x$.

Согласно условию, первому крану для выполнения этой же работы требуется на 5 часов больше, чем второму. Следовательно, время работы первого крана в одиночку составляет $x + 5$ часов. Его производительность равна $1/(x+5)$.

При совместной работе производительности кранов складываются. Общая производительность двух кранов равна $1/x + 1/(x+5)$.

Из условия известно, что вместе они разгружают баржу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $1/6$ всей работы в час. Составим уравнение, приравняв сумму производительностей к их общей производительности:

$1/x + 1/(x+5) = 1/6$

Для решения данного рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$(x+5+x)/(x(x+5)) = 1/6$

$(2x+5)/(x^2+5x) = 1/6$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

$x_1 = (-b + \sqrt{D})/(2a) = (7 + 13)/2 = 20/2 = 10$

$x_2 = (-b - \sqrt{D})/(2a) = (7 - 13)/2 = -6/2 = -3$

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое второму крану для разгрузки баржи, составляет 10 часов.

Время, необходимое первому крану, на 5 часов больше:

$x + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Ответ: первому крану для разгрузки баржи потребуется 15 часов, а второму — 10 часов.

664. Два 3D-принтера разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый 3D-принтер, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму 3D-принтеру?

Пусть x ч потребовалось второму 3D-принтеру, тогда (x+2)ч потребовалось первому 3D-принтеру для изготовления некоторого количества деталей. Примем всю работу за 1, тогра

${\displaystyle \frac{1}{x}}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - производительность (скорость) работы второго 3D принтера;

${\displaystyle \frac{1}{x+2}}\backslash frac\{1\}\{x+2\}$ - производительность (скорость) работы первого 3D-принтера;

${\displaystyle \frac{1}{2{\displaystyle \frac{55}{60}}}}\backslash frac\{1\}\{2\backslash frac\{55\}\{60\}\}$ - совместная производительность двух 3D-принтеров.

Составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2{\displaystyle \frac{55}{60}}} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2{\displaystyle \frac{11}{12}}} \mathrm{/}·2\frac{11}{12}x\left(x+2\right) \\ 2\frac{11}{12}\left(x+2\right)+2\frac{11}{12}x=x\left(x+2\right) \\ 2\frac{11}{12}\left(x+2+x\right)=x\left(x+2\right) \\ \frac{35}{12}\left(2x+2\right)=x^2+2x \mathrm{/}·12 \\ 35\left(2x+2\right)=12\left(x^2+2x\right) \\ 12x^2+24x=70x+70 \\ 12x^2+24x-70x-70=0 \\ 12x^2-46x-70=0 \mathrm{/}:2 \\ 6x^2-23x-35=0 \\ D={\left(-23\right)}^2-4·6·\left(-35\right)=529+840=1369 \\ x=\frac{23\pm \sqrt{1369}}{12}; x=\frac{23\pm 37}{12} \end{gathered}$$

$x_1=5; x_2=-\frac{7}{6}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

5+2=7(ч)

Ответ: за 7ч.

Примем весь объем работы по изготовлению деталей за 1 (единицу).

Пусть $t_1$ — это время (в часах), за которое первый 3D-принтер может изготовить все детали, работая в одиночку. Пусть $t_2$ — это время (в часах), за которое второй 3D-принтер может изготовить все детали, работая в одиночку.

Тогда производительность (мощность) первого принтера составляет $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час), а производительность второго принтера — $P_2 = \frac{1}{t_2}$ (часть работы в час).

Согласно условию, первому принтеру требуется на 2 часа больше, чем второму. Математически это выражается так:

$t_1 = t_2 + 2$

Из этого уравнения можно выразить время работы второго принтера через время работы первого: $t_2 = t_1 - 2$.

Вместе два принтера выполнили работу за 2 часа 55 минут. Необходимо перевести это время в часы для согласованности единиц измерения:

$2 \text{ ч } 55 \text{ мин} = 2 + \frac{55}{60} \text{ ч} = 2 + \frac{11}{12} \text{ ч} = \frac{24}{12} + \frac{11}{12} = \frac{35}{12} \text{ ч}$.

При совместной работе производительности складываются. Общая производительность $P_{общ} = P_1 + P_2$. Время совместной работы $t_{совм}$ связано с общей производительностью формулой $t_{совм} = \frac{1}{P_{общ}}$.

Подставим известные значения:

$\frac{1}{t_{совм}} = P_1 + P_2$

$\frac{1}{\frac{35}{12}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

$\frac{12}{35} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Теперь в это уравнение подставим выражение для $t_2$ ($t_2 = t_1 - 2$). Для удобства вычислений обозначим искомую величину $t_1$ как $x$:

$\frac{12}{35} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-2}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{12}{35} = \frac{(x-2) + x}{x(x-2)}$

$\frac{12}{35} = \frac{2x-2}{x^2-2x}$

Воспользуемся правилом пропорции (перекрестное умножение):

$12(x^2 - 2x) = 35(2x - 2)$

$12x^2 - 24x = 70x - 70$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$12x^2 - 24x - 70x + 70 = 0$

$12x^2 - 94x + 70 = 0$

Можно упростить уравнение, разделив все его члены на 2:

$6x^2 - 47x + 35 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-47)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 35 = 2209 - 840 = 1369$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{1369} = 37$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{47 + 37}{2 \cdot 6} = \frac{84}{12} = 7$

$x_2 = \frac{47 - 37}{2 \cdot 6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Мы получили два возможных значения для $t_1$. Проверим каждое из них:

1. Если $x = 7$, то $t_1 = 7$ часов. Тогда время второго принтера $t_2 = t_1 - 2 = 7 - 2 = 5$ часов. Оба значения времени положительны, что соответствует условию задачи.

2. Если $x = \frac{5}{6}$, то $t_1 = \frac{5}{6}$ часа. Тогда время второго принтера $t_2 = t_1 - 2 = \frac{5}{6} - 2 = -\frac{7}{6}$ часа. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому этот корень является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, единственное верное решение — 7 часов.

Ответ: 7 часов.

665. Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью, на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что его средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч?

Пусть х км/ч - первоначальная скорость велосипедиста, тогда (х+5)км/ч - скорость, с которой он возвращался от станции до посёлка. Зная, что его средняя скорость на всём пути составляла 12км/ч, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x+5}}}=12 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{2}{12} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\mathrm{/}·6x\left(x+5\right) \\ 6\left(x+5\right)+6x=x\left(x+5\right) \\ 6x+30+6x=x^2+5x \\ 12x+30=x^2+5x \\ {x}^2+5x-12x-30=0 \\ {x}^2-7x-30=0 \\ A={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{7\pm 13}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-3$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 10 км/ч

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста. Согласно условию, на обратном пути его скорость была на 5 км/ч больше, то есть составляла $v + 5$ км/ч.

Обозначим расстояние от посёлка до станции как $S$ км. Тогда весь путь, который проехал велосипедист, равен $S + S = 2S$ км.

Время, затраченное на поездку от посёлка до станции, равно $t_1 = \frac{S}{v}$ ч.
Время, затраченное на обратный путь, равно $t_2 = \frac{S}{v + 5}$ ч.

Общее время, проведённое в пути, составляет $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{v} + \frac{S}{v+5}$ ч.

Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:
$v_{ср} = \frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}} = \frac{2S}{\frac{S}{v} + \frac{S}{v+5}}$

В знаменателе можно вынести общий множитель $S$ за скобки и затем сократить дробь на $S$:
$v_{ср} = \frac{2S}{S(\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5})} = \frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5}}$

Теперь приведём дроби в знаменателе к общему знаменателю:
$\frac{1}{v} + \frac{1}{v+5} = \frac{v+5+v}{v(v+5)} = \frac{2v+5}{v^2+5v}$

Подставим полученное выражение обратно в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{2}{\frac{2v+5}{v^2+5v}} = \frac{2(v^2+5v)}{2v+5}$

По условию задачи, средняя скорость велосипедиста $v_{ср}$ равна 12 км/ч. Составим уравнение, подставив это значение:
$12 = \frac{2(v^2+5v)}{2v+5}$

Решим полученное уравнение. Умножим обе части на $(2v+5)$:
$12(2v+5) = 2v^2+10v$
$24v+60 = 2v^2+10v$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2v^2 + 10v - 24v - 60 = 0$
$2v^2 - 14v - 60 = 0$

Для удобства разделим обе части уравнения на 2:
$v^2 - 7v - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: нам нужны два числа, сумма которых равна 7, а произведение равно -30. Эти числа — 10 и -3.
Таким образом, корни уравнения: $v_1 = 10$ и $v_2 = -3$.

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $v_2 = -3$ не имеет физического смысла и не является решением задачи.
Следовательно, первоначальная скорость велосипедиста была 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

666. Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?

Пусть x км/ч - скорость мотоциклиста на первой половине пути, тогда (x-20)км/ч - скорость на второй половине пути. Зная, что его средняя скорость на всём пути составила 37,5км/ч, составим и решим уравнения

$$\begin{gathered} \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x-20}}}=37,5 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}=\frac{2}{37,5} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}=\frac{20}{375} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}=\frac{4}{75} \mathrm{/}·75x\left(x-20\right) \\ 75\left(x-20\right)+75x=4x\left(x-20\right) \\ 75x-1500+75x=4x^2-80x \\ 150x-1500=4x^2-80x \\ 4x^2-80x-150x+1500=0 \\ 4x^2-230x+1500=0 \mathrm{/}:2 \\ 2x^2-115x+750=0 \\ D={\left(-115\right)}^2-4·2·750=13225-6000=7225 \\ x=\frac{115\pm \sqrt{7225}}{4}; x=\frac{115\pm 85}{4} \\ {x}_1=50; x_2=7,5 \end{gathered}$$

Если х=7,5, то $x(x-20)=7,5(7,5-20)=7,5(-12,5)=-93,75<0$ - не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 50 км/ч

Обозначим весь путь, пройденный мотоциклистом, как $S$. Мотоциклист проехал половину пути, то есть $S/2$, с некоторой постоянной скоростью, а вторую половину пути, также $S/2$, с другой скоростью.

Пусть $v_1$ – это скорость мотоциклиста на первой половине пути (в км/ч). Это искомая величина.Согласно условию, на второй половине пути мотоциклист снизил скорость на 20 км/ч, значит, его скорость $v_2$ на этом участке была равна $v_2 = v_1 - 20$ км/ч.

Средняя скорость на всём пути вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ – это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ – общее время в пути.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2(v_1 - 20)}$.
Следовательно, общее время: $t_{общ} = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2(v_1 - 20)}$.

Подставим выражения для общего пути ($S_{общ} = S$) и общего времени в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2(v_1 - 20)}}$

Мы можем сократить $S$ в числителе и знаменателе, так как расстояние не влияет на итоговый результат:
$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2(v_1 - 20)}}$
Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дробей в знаменателе:
$v_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_1 - 20}}$

Теперь приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $v_1(v_1 - 20)$:
$v_{ср} = \frac{2}{\frac{(v_1 - 20) + v_1}{v_1(v_1 - 20)}} = \frac{2 \cdot v_1(v_1 - 20)}{2v_1 - 20}$

Подставим известное значение средней скорости $v_{ср} = 37,5$ км/ч. Для удобства запишем $37,5$ в виде обыкновенной дроби: $37,5 = \frac{75}{2}$.
$\frac{75}{2} = \frac{2v_1(v_1 - 20)}{2(v_1 - 10)} = \frac{v_1(v_1 - 20)}{v_1 - 10}$
Ой, в знаменателе было $2v_1 - 20$, а не $2(v_1-10)$, вернемся к предыдущему шагу и продолжим с него.
$\frac{75}{2} = \frac{2v_1^2 - 40v_1}{2v_1 - 20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$75(2v_1 - 20) = 2(2v_1^2 - 40v_1)$
$150v_1 - 1500 = 4v_1^2 - 80v_1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4v_1^2 - 80v_1 - 150v_1 + 1500 = 0$
$4v_1^2 - 230v_1 + 1500 = 0$

Для упрощения расчетов разделим все члены уравнения на 2:
$2v_1^2 - 115v_1 + 750 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a = 2, b = -115, c = 750$
$D = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 - 6000 = 7225$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_{1,1} = \frac{115 + 85}{2 \cdot 2} = \frac{200}{4} = 50$
$v_{1,2} = \frac{115 - 85}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 7,5$

Мы получили два математически верных решения. Теперь нужно проверить, какое из них соответствует физическому смыслу задачи. По условию, скорость на втором участке была на 20 км/ч меньше, чем на первом. Это означает, что начальная скорость $v_1$ должна быть больше 20 км/ч, иначе скорость на втором участке $v_2$ станет отрицательной, что невозможно.
1. Если $v_1 = 50$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 50 - 20 = 30$ км/ч. Это значение является физически возможным.
2. Если $v_1 = 7,5$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 7,5 - 20 = -12,5$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

Следовательно, единственное подходящее решение – это 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

667. Докажите, что:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{11+2\sqrt{30}}+\frac{1}{11-2\sqrt{30}}=22 \\ \frac{1·\left(11-2\sqrt{30}\right)}{\left(11+2\sqrt{30}\right)\left(11-2\sqrt{30}\right)}+ \\ +\frac{1·\left(11+2\sqrt{30}\right)}{\left(11-2\sqrt{30}\right)\left(11+2\sqrt{30}\right)}=22 \\ \frac{11-2\sqrt{30}}{11^2-{\left(2\sqrt{30}\right)}^2}+\frac{11+2\sqrt{30}}{11^2-{\left(2\sqrt{30}\right)}^2}=22 \\ \frac{11-2\sqrt{30}+11+2\sqrt{30}}{121-4·30}=22 \\ \frac{22}{121-120}=22 \\ \frac{22}{1}=22 \\ 22=22 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}+\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}=18 \\ \frac{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}+\frac{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=18 \\ \frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}+\frac{5-4\sqrt{5}+4}{5-4}=18 \\ \frac{9+4\sqrt{5}+5-4\sqrt{5}+4}{1}=18 \\ 18=18 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать данное тождество, преобразуем его левую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей: $(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})$. Это выражение является разностью квадратов.

Воспользуемся формулой $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.

Теперь выполним сложение дробей, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{1}{11+2\sqrt{30}} + \frac{1}{11-2\sqrt{30}} = \frac{1 \cdot (11-2\sqrt{30})}{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})} + \frac{1 \cdot (11+2\sqrt{30})}{(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})} = \frac{11-2\sqrt{30} + 11+2\sqrt{30}}{1}$.

Упростим числитель полученной дроби:

$11-2\sqrt{30} + 11+2\sqrt{30} = (11+11) + (-2\sqrt{30}+2\sqrt{30}) = 22$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{22}{1} = 22$.

Мы получили, что $22 = 22$, следовательно, тождество доказано.

Ответ: 22.

б) Чтобы доказать данное тождество, преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Для этого числитель первой дроби умножим на $(\sqrt{5}+2)$, а числитель второй дроби на $(\sqrt{5}-2)$:

$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} + \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} + \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{(\sqrt{5}+2)^2 + (\sqrt{5}-2)^2}{1}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.

$(\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.

Сложим полученные выражения в числителе:

$(9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 9 + 4\sqrt{5} + 9 - 4\sqrt{5} = 18$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{18}{1} = 18$.

Мы получили, что $18 = 18$, следовательно, тождество доказано.

Ответ: 18.