Номер 666, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 666, страница 154.

666. Мотоциклист половину пути проехал с некоторой постоянной скоростью, а затем снизил скорость на 20 км/ч. Какова была скорость мотоциклиста на первой половине пути, если известно, что средняя скорость на всём пути составила 37,5 км/ч?

Пусть x км/ч - скорость мотоциклиста на первой половине пути, тогда (x-20)км/ч - скорость на второй половине пути. Зная, что его средняя скорость на всём пути составила 37,5км/ч, составим и решим уравнения

$$\begin{gathered} \frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x-20}}}=37,5 \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}=\frac{2}{37,5} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}=\frac{20}{375} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-20}=\frac{4}{75} \mathrm{/}·75x\left(x-20\right) \\ 75\left(x-20\right)+75x=4x\left(x-20\right) \\ 75x-1500+75x=4x^2-80x \\ 150x-1500=4x^2-80x \\ 4x^2-80x-150x+1500=0 \\ 4x^2-230x+1500=0 \mathrm{/}:2 \\ 2x^2-115x+750=0 \\ D={\left(-115\right)}^2-4·2·750=13225-6000=7225 \\ x=\frac{115\pm \sqrt{7225}}{4}; x=\frac{115\pm 85}{4} \\ {x}_1=50; x_2=7,5 \end{gathered}$$

Если х=7,5, то $x(x-20)=7,5(7,5-20)=7,5(-12,5)=-93,75<0$ - не удовлетворяет условию задачи

Ответ: 50 км/ч

Обозначим весь путь, пройденный мотоциклистом, как $S$. Мотоциклист проехал половину пути, то есть $S/2$, с некоторой постоянной скоростью, а вторую половину пути, также $S/2$, с другой скоростью.

Пусть $v_1$ – это скорость мотоциклиста на первой половине пути (в км/ч). Это искомая величина.Согласно условию, на второй половине пути мотоциклист снизил скорость на 20 км/ч, значит, его скорость $v_2$ на этом участке была равна $v_2 = v_1 - 20$ км/ч.

Средняя скорость на всём пути вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ – это весь пройденный путь, а $t_{общ}$ – общее время в пути.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2v_1}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2(v_1 - 20)}$.
Следовательно, общее время: $t_{общ} = \frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2(v_1 - 20)}$.

Подставим выражения для общего пути ($S_{общ} = S$) и общего времени в формулу средней скорости:
$v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{2v_1} + \frac{S}{2(v_1 - 20)}}$

Мы можем сократить $S$ в числителе и знаменателе, так как расстояние не влияет на итоговый результат:
$v_{ср} = \frac{1}{\frac{1}{2v_1} + \frac{1}{2(v_1 - 20)}}$
Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дробей в знаменателе:
$v_{ср} = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_1 - 20}}$

Теперь приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $v_1(v_1 - 20)$:
$v_{ср} = \frac{2}{\frac{(v_1 - 20) + v_1}{v_1(v_1 - 20)}} = \frac{2 \cdot v_1(v_1 - 20)}{2v_1 - 20}$

Подставим известное значение средней скорости $v_{ср} = 37,5$ км/ч. Для удобства запишем $37,5$ в виде обыкновенной дроби: $37,5 = \frac{75}{2}$.
$\frac{75}{2} = \frac{2v_1(v_1 - 20)}{2(v_1 - 10)} = \frac{v_1(v_1 - 20)}{v_1 - 10}$
Ой, в знаменателе было $2v_1 - 20$, а не $2(v_1-10)$, вернемся к предыдущему шагу и продолжим с него.
$\frac{75}{2} = \frac{2v_1^2 - 40v_1}{2v_1 - 20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$75(2v_1 - 20) = 2(2v_1^2 - 40v_1)$
$150v_1 - 1500 = 4v_1^2 - 80v_1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$4v_1^2 - 80v_1 - 150v_1 + 1500 = 0$
$4v_1^2 - 230v_1 + 1500 = 0$

Для упрощения расчетов разделим все члены уравнения на 2:
$2v_1^2 - 115v_1 + 750 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$a = 2, b = -115, c = 750$
$D = (-115)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 750 = 13225 - 6000 = 7225$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{7225} = 85$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$v_{1,1} = \frac{115 + 85}{2 \cdot 2} = \frac{200}{4} = 50$
$v_{1,2} = \frac{115 - 85}{2 \cdot 2} = \frac{30}{4} = 7,5$

Мы получили два математически верных решения. Теперь нужно проверить, какое из них соответствует физическому смыслу задачи. По условию, скорость на втором участке была на 20 км/ч меньше, чем на первом. Это означает, что начальная скорость $v_1$ должна быть больше 20 км/ч, иначе скорость на втором участке $v_2$ станет отрицательной, что невозможно.
1. Если $v_1 = 50$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 50 - 20 = 30$ км/ч. Это значение является физически возможным.
2. Если $v_1 = 7,5$ км/ч, то скорость на втором участке $v_2 = 7,5 - 20 = -12,5$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, поэтому этот корень не является решением задачи.

Следовательно, единственное подходящее решение – это 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.