Номер 663, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 663, страница 154.

663. При совместной работе двух кранов разгрузку баржи закончили за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому крану отдельно для разгрузки баржи, если известно, что первому крану для этого требуется на 5 ч больше, чем второму?

Пусть х ч потребовалось второму крану, тогда (х+5)ч потребовалось первому крану для разгрузки баржи. Примем всю работу за 1, тогда

${\displaystyle \frac{1}{x}}\backslash frac\{1\}\{x\}$ - производительность (скорость) работы второго крана,

${\displaystyle \frac{1}{x+5}}\backslash frac\{1\}\{x+5\}$ - производительность (скорость) работ первого крана,

${\displaystyle \frac{1}{6}}\backslash frac\{1\}\{6\}$ - совместная производительность двух кранов

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x+5}+\frac{1}{x}=\frac{1}{6} /·x\left(x+5\right)·6 \\ 6x+6\left(x+5\right)=x\left(x+5\right) \\ 6x+6x+30=x^2+5x \\ 12x+30=x^2+5x \\ {x}^2+5x-12x-30=0 \\ {x}^2-7x-30=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=49+120=169 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{169}}{2}; x=\frac{7\pm 13}{2} \end{gathered}$$

$x_1=10; x_2=-3$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

10+5=15 (ч) - время выполнения работы первым краном

Ответ: 15ч, 10ч

Пусть вся работа по разгрузке баржи принимается за 1.

Обозначим за $x$ время в часах, за которое второй кран может разгрузить баржу, работая отдельно. Тогда его производительность (часть работы, выполняемая за 1 час) составляет $1/x$.

Согласно условию, первому крану для выполнения этой же работы требуется на 5 часов больше, чем второму. Следовательно, время работы первого крана в одиночку составляет $x + 5$ часов. Его производительность равна $1/(x+5)$.

При совместной работе производительности кранов складываются. Общая производительность двух кранов равна $1/x + 1/(x+5)$.

Из условия известно, что вместе они разгружают баржу за 6 часов. Это означает, что их общая производительность равна $1/6$ всей работы в час. Составим уравнение, приравняв сумму производительностей к их общей производительности:

$1/x + 1/(x+5) = 1/6$

Для решения данного рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:

$(x+5+x)/(x(x+5)) = 1/6$

$(2x+5)/(x^2+5x) = 1/6$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$.

$x_1 = (-b + \sqrt{D})/(2a) = (7 + 13)/2 = 20/2 = 10$

$x_2 = (-b - \sqrt{D})/(2a) = (7 - 13)/2 = -6/2 = -3$

Поскольку $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -3$ не является решением задачи.

Таким образом, время, необходимое второму крану для разгрузки баржи, составляет 10 часов.

Время, необходимое первому крану, на 5 часов больше:

$x + 5 = 10 + 5 = 15$ часов.

Ответ: первому крану для разгрузки баржи потребуется 15 часов, а второму — 10 часов.