Номер 660, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 660, страница 154.

660. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошёл 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость течения реки.

Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда (20+х)км/ч - скорость по течению, (20-х)км/ч - скорость против течения. Найдём время, потраченное катером на путь по течению и против течения:

$t_1={\displaystyle \frac{36}{20-x}}t\_1\; =\; \backslash frac\{36\}\{20-x\}$ ч - время, потраченное на путь против течения,

$t_2={\displaystyle \frac{22}{20+x}}t\_2\; =\; \backslash frac\{22\}\{20+x\}$ ч - время, потраченное на путь по течению.

Зная, что $t_1+t_2=3\text{ч,}$ составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{36}{20-x}+\frac{22}{20+x}=3 /·\left(20-x\right)\left(20+x\right) \\ 36\left(20+x\right)+22\left(20-x\right)=3·\left(20-x\right)\left(20+x\right) \\ 720+36x+440-22x=3·\left(400-x^2\right) \\ 14x+1160=1200-3x^2 \\ 3x^2+14x+1160-1200=0 \\ 3x^2+14x-40=0 \\ D=14^2-4·3·\left(-40\right)=196+480=676 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{676}}{6}; x=\frac{-14\pm 26}{6} \end{gathered}$$

$x_1=2; x_2=\frac{-40}{6}$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 2 км/ч

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. По условию, собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) составляет 20 км/ч.

Тогда скорость катера при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $(20 + x)$ км/ч.

Скорость катера при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $(20 - x)$ км/ч.

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое катер потратил на путь против течения, составляет: $t_{против} = \frac{36}{20 - x}$ часов.

Время, которое катер потратил на путь по течению, составляет: $t_{по} = \frac{22}{20 + x}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, равно 3 часа. Мы можем составить уравнение, сложив время движения против течения и по течению: $\frac{36}{20 - x} + \frac{22}{20 + x} = 3$

Для решения этого уравнения необходимо учесть, что скорость течения $x$ должна быть положительной и меньше скорости катера, то есть $0 < x < 20$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(20 - x)(20 + x)$: $\frac{36(20 + x) + 22(20 - x)}{(20 - x)(20 + x)} = 3$

Умножим обе части уравнения на $(20 - x)(20 + x)$, чтобы избавиться от знаменателя: $36(20 + x) + 22(20 - x) = 3(20 - x)(20 + x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $720 + 36x + 440 - 22x = 3(400 - x^2)$

Упростим левую часть и раскроем скобки в правой части: $1160 + 14x = 1200 - 3x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 + 14x + 1160 - 1200 = 0$ $3x^2 + 14x - 40 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 196 + 480 = 676$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-14 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{-14 - \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 26}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3}$

Скорость течения реки не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -\frac{20}{3}$ не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Проверим полученное решение: Время движения против течения: $\frac{36}{20 - 2} = \frac{36}{18} = 2$ часа. Время движения по течению: $\frac{22}{20 + 2} = \frac{22}{22} = 1$ час. Общее время: $2 + 1 = 3$ часа. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 2 км/ч.