Номер 667, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 667, страница 154.

667. Докажите, что:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{11+2\sqrt{30}}+\frac{1}{11-2\sqrt{30}}=22 \\ \frac{1·\left(11-2\sqrt{30}\right)}{\left(11+2\sqrt{30}\right)\left(11-2\sqrt{30}\right)}+ \\ +\frac{1·\left(11+2\sqrt{30}\right)}{\left(11-2\sqrt{30}\right)\left(11+2\sqrt{30}\right)}=22 \\ \frac{11-2\sqrt{30}}{11^2-{\left(2\sqrt{30}\right)}^2}+\frac{11+2\sqrt{30}}{11^2-{\left(2\sqrt{30}\right)}^2}=22 \\ \frac{11-2\sqrt{30}+11+2\sqrt{30}}{121-4·30}=22 \\ \frac{22}{121-120}=22 \\ \frac{22}{1}=22 \\ 22=22 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}+\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}=18 \\ \frac{{\left(\sqrt{5}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}+\frac{{\left(\sqrt{5}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}=18 \\ \frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}+\frac{5-4\sqrt{5}+4}{5-4}=18 \\ \frac{9+4\sqrt{5}+5-4\sqrt{5}+4}{1}=18 \\ 18=18 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать данное тождество, преобразуем его левую часть. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей дробей: $(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})$. Это выражение является разностью квадратов.

Воспользуемся формулой $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30}) = 11^2 - (2\sqrt{30})^2 = 121 - 4 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.

Теперь выполним сложение дробей, приведя их к общему знаменателю:

$\frac{1}{11+2\sqrt{30}} + \frac{1}{11-2\sqrt{30}} = \frac{1 \cdot (11-2\sqrt{30})}{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})} + \frac{1 \cdot (11+2\sqrt{30})}{(11-2\sqrt{30})(11+2\sqrt{30})} = \frac{11-2\sqrt{30} + 11+2\sqrt{30}}{1}$.

Упростим числитель полученной дроби:

$11-2\sqrt{30} + 11+2\sqrt{30} = (11+11) + (-2\sqrt{30}+2\sqrt{30}) = 22$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{22}{1} = 22$.

Мы получили, что $22 = 22$, следовательно, тождество доказано.

Ответ: 22.

б) Чтобы доказать данное тождество, преобразуем его левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель равен произведению знаменателей: $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)$. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Для этого числитель первой дроби умножим на $(\sqrt{5}+2)$, а числитель второй дроби на $(\sqrt{5}-2)$:

$\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2} + \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} = \frac{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} + \frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \frac{(\sqrt{5}+2)^2 + (\sqrt{5}-2)^2}{1}$.

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sqrt{5}+2)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$.

$(\sqrt{5}-2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$.

Сложим полученные выражения в числителе:

$(9 + 4\sqrt{5}) + (9 - 4\sqrt{5}) = 9 + 4\sqrt{5} + 9 - 4\sqrt{5} = 18$.

Таким образом, левая часть тождества равна $\frac{18}{1} = 18$.

Мы получили, что $18 = 18$, следовательно, тождество доказано.

Ответ: 18.