Номер 661, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 661, страница 154.

661. В водный раствор соли добавили 100 г воды. В результате концентрация соли в растворе понизилась на 1%. Определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нём содержалось 30 г соли.

Пусть x г - первоначальная масса раствора, тогда (x+100)г - новая масса раствора. Зная, что в растворе содержится 30г соли, можно найти концентрацию соли в первоначальном растворе и в новом растворе

${\displaystyle \frac{30}{x}}·100\mathrm{\%} \backslash frac\{30\}\{x\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ - концентрация соли в первоначальном растворе,

$\frac{30}{x+100}·100\mathrm{\%}$ - концентрация соли в новом растворе

Известно, что концентрация соли в новом растворе понизилась на 1%.

Составим и решим уравнение:

$$\begin{gathered} \frac{30}{x}·100=\frac{30}{x+100}·100+1 \\ \frac{3000}{x}=\frac{3000}{x+100}+1 \mathrm{/}·x\left(x+100\right) \\ 3000\left(x+100\right)=3000x+x\left(x+100\right) \\ 3000x+300 000=3000x+x^2+100x \\ {x}^2+100x-300 000=0 \\ D=100^2-4·1·\left(-300 000\right)= \\ =10000+1200 000=1210 000 \\ x=\frac{-100\pm \sqrt{1210 000}}{2}; x=\frac{-100\pm 1100}{2} \end{gathered}$$

$x_1=500; x_2=-600$ - не удовлетворяет условию задачи x>0

Ответ: 500г

Для решения задачи введем переменные:
Пусть $x$ (в граммах) — первоначальная масса раствора.
Масса соли в растворе, по условию, составляет 30 г.

Первоначальная концентрация соли в растворе ($\omega_1$) вычисляется как отношение массы соли к массе всего раствора:
$\omega_1 = \frac{30}{x}$

После добавления 100 г воды масса раствора стала равной $x + 100$ г. Масса соли при этом не изменилась.
Новая концентрация соли ($\omega_2$) в растворе:
$\omega_2 = \frac{30}{x + 100}$

По условию, концентрация понизилась на 1%, что в долях составляет 0,01. Следовательно, разница между первоначальной и новой концентрацией равна 0,01:
$\omega_1 - \omega_2 = 0.01$

Подставим выражения для концентраций в это уравнение:
$\frac{30}{x} - \frac{30}{x + 100} = 0.01$

Теперь решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{30(x + 100) - 30x}{x(x + 100)} = 0.01$

Раскроем скобки в числителе:
$\frac{30x + 3000 - 30x}{x^2 + 100x} = 0.01$
$\frac{3000}{x^2 + 100x} = 0.01$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $x^2 + 100x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -100$, что очевидно, так как масса не может быть нулевой или отрицательной):
$3000 = 0.01(x^2 + 100x)$

Умножим обе части уравнения на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$300000 = x^2 + 100x$

Получим стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 100x - 300000 = 0$

Решим его через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300000) = 10000 + 1200000 = 1210000$
$\sqrt{D} = \sqrt{1210000} = 1100$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-100 + 1100}{2} = \frac{1000}{2} = 500$
$x_2 = \frac{-100 - 1100}{2} = \frac{-1200}{2} = -600$

Поскольку масса раствора не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -600$ не имеет физического смысла. Следовательно, первоначальная масса раствора равна 500 г.

Проверим решение:
Первоначальная концентрация: $\omega_1 = \frac{30}{500} \cdot 100\% = 6\%$.
Новая масса раствора: $500 + 100 = 600$ г.
Новая концентрация: $\omega_2 = \frac{30}{600} \cdot 100\% = 5\%$.
Разница концентраций: $6\% - 5\% = 1\%$. Решение верное.

Ответ: 500 г.