Номер 662, страница 154 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 662, страница 154.

662. Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Пусть х г серебра было в сплаве, тогда ${\displaystyle \frac{40}{x+40}}·100\mathrm{\%}\backslash frac\{40\}\{x+40\}\; \backslash cdot\; 100\backslash \%$ - процентное содержание золота в старом сплаве, $\frac{40+50}{x+40+50}·100\mathrm{\%}=\frac{90}{x+90}·100\mathrm{\%}$ - процентное содержание золота в новом сплаве. Зная, что в новом сплаве содержание золота возросло на 20%, составим и решим уравнение

$$\begin{gathered} \frac{90}{x+90}·100-\frac{40}{x+40}·100=20 \\ 100\left(\frac{90}{x+90}-\frac{40}{x+40}\right)=20 \\ \frac{90}{x+90}-\frac{40}{x+40}=0,2\mathrm{/}·\left(x+90\right)\left(x+40\right) \\ 90\left(x+40\right)-40\left(x+90\right)=0,2\left(x+90\right)\left(x+40\right) \\ 90x+3600-40x-3600=0,2\left(x^2+130x+3600\right) \\ 50x=0,2x^2+26x+720 \\ 0,2x^2+26x-50x+720=0 \\ 0,2x^2-24x+720=0 \\ {x}^2-120x+3600=0 \\ D=120^2-4·1·3600=14400-14400=0 \\ x=\frac{120}{2}; x=60 \end{gathered}$$

Ответ: 60г

Пусть $x$ г — масса серебра в первоначальном сплаве.Изначально в сплаве было 40 г золота.Тогда общая масса первоначального сплава составляла $(40 + x)$ г.

Концентрация (содержание) золота в первоначальном сплаве — это отношение массы золота к общей массе сплава:$C_1 = \frac{40}{40 + x}$

После того как к сплаву добавили 50 г золота, масса золота в новом сплаве стала $40 + 50 = 90$ г. Масса серебра при этом не изменилась и осталась равной $x$ г.Общая масса нового сплава стала $(40 + x) + 50 = (90 + x)$ г.

Концентрация золота в новом сплаве стала:$C_2 = \frac{90}{90 + x}$

По условию, содержание золота возросло на 20%. Это означает, что разница между новой и старой концентрациями составляет 20 процентных пунктов, или 0,2, если выражать концентрацию в долях.Таким образом, мы можем составить уравнение:$C_2 - C_1 = 0.2$$\frac{90}{90 + x} - \frac{40}{40 + x} = 0.2$

Решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(90 + x)(40 + x)$, при условии, что $x > 0$, а значит, знаменатели не равны нулю.$90(40 + x) - 40(90 + x) = 0.2(90 + x)(40 + x)$

Раскроем скобки в левой и правой частях:$3600 + 90x - 3600 - 40x = 0.2(3600 + 90x + 40x + x^2)$$50x = 0.2(x^2 + 130x + 3600)$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 5:$250x = x^2 + 130x + 3600$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + 130x - 250x + 3600 = 0$$x^2 - 120x + 3600 = 0$

Это уравнение является полным квадратом разности, так как оно соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.В данном случае $a=x$ и $b=60$, поскольку $2 \cdot x \cdot 60 = 120x$ и $60^2 = 3600$.Свернем уравнение:$(x - 60)^2 = 0$

Из этого следует, что:$x - 60 = 0$$x = 60$Следовательно, масса серебра в первоначальном сплаве составляла 60 г.

Проверим полученный результат:
Первоначальный сплав: 40 г золота и 60 г серебра. Общая масса 100 г. Концентрация золота: $\frac{40}{100} = 0.4$, или 40%.
Новый сплав: $40+50=90$ г золота и 60 г серебра. Общая масса 150 г. Концентрация золота: $\frac{90}{150} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6$, или 60%.
Увеличение концентрации: $60\% - 40\% = 20\%$. Результат соответствует условию задачи.

Ответ: 60 г.