Номер 669, страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

27. Решение задач. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 669, страница 155.

669. Найдите значение q, при котором разность корней уравнения x² – 10x + q = 0 равна 6.

$x^2-10x+q=0$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=6\\ x_1+x_2=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=16\\ x_1-x_2=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=8\\ 8-x_2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=8\\ x_2=2\end{array}\right.$

$q=x_1·x_2=8·2=16$

Ответ: 16

Дано квадратное уравнение $x^2 - 10x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

По условию задачи, разность корней равна 6. Можно записать это как $|x_1 - x_2| = 6$. Для определённости, предположим, что $x_1$ — больший корень, тогда $x_1 - x_2 = 6$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 10x + q = 0$ коэффициент при $x$ равен $-10$, а свободный член равен $q$. Применяя теорему Виета, получаем:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 - x_2 = 6 \end{cases} $

Сложим оба уравнения системы, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 10 + 6$

$2x_1 = 16$

$x_1 = 8$

Теперь подставим найденное значение $x_1 = 8$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:

$8 + x_2 = 10$

$x_2 = 10 - 8$

$x_2 = 2$

Итак, корни уравнения — это 8 и 2. Мы можем проверить, что их разность действительно равна $8 - 2 = 6$, что соответствует условию задачи.

Чтобы найти значение $q$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$q = x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16.