Страница 155 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

668. Найдите значение выражения:

a) ${\displaystyle \frac{xy}{x+y}}\backslash frac\{xy\}\{x+y\}$ при $x=5+2\sqrt{6}, y=5-2\sqrt{6}$,

$\frac{\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(5-2\sqrt{6}\right)}{5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}}=\frac{25-{\left(2\sqrt{6}\right)}^2}{10}=\frac{25-24}{10}=0,1$

б) ${\displaystyle \frac{x^2+y^2}{xy}}\backslash frac\{x^2+y^2\}\{xy\}$ при $x=\sqrt{11}+\sqrt{3}, y=\sqrt{11}-\sqrt{3}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}^2}{\left(\sqrt{11}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)}= \\ =\frac{11+2\sqrt{11}\sqrt{3}+3+11-2\sqrt{11}\sqrt{3}+3}{11-3}= \\ =\frac{22+6}{8}=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}=3,5 \end{gathered}$$

а) Найдем значение выражения $\frac{xy}{x+y}$ при $x = 5+2\sqrt{6}$ и $y = 5-2\sqrt{6}$.

Для решения задачи сначала отдельно вычислим значения числителя ($xy$) и знаменателя ($x+y$).

Вычислим произведение $xy$, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$xy = (5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1$.

Вычислим сумму $x+y$:

$x+y = (5+2\sqrt{6}) + (5-2\sqrt{6}) = 5+5+2\sqrt{6}-2\sqrt{6} = 10$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{10} = 0.1$.

Ответ: $0.1$.

б) Найдем значение выражения $\frac{x^2+y^2}{xy}$ при $x = \sqrt{11+\sqrt{3}}$ и $y = \sqrt{11-\sqrt{3}}$.

Для решения задачи вычислим значения $x^2$, $y^2$ и $xy$.

Найдем $x^2$ и $y^2$:

$x^2 = (\sqrt{11+\sqrt{3}})^2 = 11+\sqrt{3}$.

$y^2 = (\sqrt{11-\sqrt{3}})^2 = 11-\sqrt{3}$.

Теперь вычислим числитель дроби $x^2+y^2$:

$x^2+y^2 = (11+\sqrt{3}) + (11-\sqrt{3}) = 11+11+\sqrt{3}-\sqrt{3} = 22$.

Далее вычислим знаменатель дроби $xy$, используя свойство $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ и формулу разности квадратов:

$xy = \sqrt{11+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{11-\sqrt{3}} = \sqrt{(11+\sqrt{3})(11-\sqrt{3})} = \sqrt{11^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{121-3} = \sqrt{118}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{22}{\sqrt{118}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{118}$:

$\frac{22}{\sqrt{118}} = \frac{22 \cdot \sqrt{118}}{\sqrt{118} \cdot \sqrt{118}} = \frac{22\sqrt{118}}{118}$.

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{22\sqrt{118}}{118} = \frac{11\sqrt{118}}{59}$.

Ответ: $\frac{11\sqrt{118}}{59}$.

669. Найдите значение q, при котором разность корней уравнения x² – 10x + q = 0 равна 6.

$x^2-10x+q=0$

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=6\\ x_1+x_2=10\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}2x_1=16\\ x_1-x_2=6\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}{x}_1=8\\ 8-x_2=6\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}{x}_1=8\\ x_2=2\end{array}\right.$

$q=x_1·x_2=8·2=16$

Ответ: 16

Дано квадратное уравнение $x^2 - 10x + q = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

По условию задачи, разность корней равна 6. Можно записать это как $|x_1 - x_2| = 6$. Для определённости, предположим, что $x_1$ — больший корень, тогда $x_1 - x_2 = 6$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 10x + q = 0$ коэффициент при $x$ равен $-10$, а свободный член равен $q$. Применяя теорему Виета, получаем:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения корней $x_1$ и $x_2$:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_1 - x_2 = 6 \end{cases} $

Сложим оба уравнения системы, чтобы найти $x_1$:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 10 + 6$

$2x_1 = 16$

$x_1 = 8$

Теперь подставим найденное значение $x_1 = 8$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x_2$:

$8 + x_2 = 10$

$x_2 = 10 - 8$

$x_2 = 2$

Итак, корни уравнения — это 8 и 2. Мы можем проверить, что их разность действительно равна $8 - 2 = 6$, что соответствует условию задачи.

Чтобы найти значение $q$, воспользуемся формулой для произведения корней:

$q = x_1 \cdot x_2 = 8 \cdot 2 = 16$.

Ответ: 16.

670. Составьте квадратное уравнение, зная его корни:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} x_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2}; x_2=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ -p=x_1+x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}= \\ =\frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3} \\ p=-\sqrt{3} \\ q=x_1·x_2=\frac{\sqrt{3}-1}{2}·\frac{\sqrt{3}+1}{2}= \\ =\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{4}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ {x}^2+px+q=0 \\ {x}^2-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}=0\mathrm{/}·2 \\ 2x^2-2\sqrt{3}x+1=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x_1=2-\sqrt{3}; x_2=\frac{1}{2-\sqrt{3}} \\ -p=x_1+x_2=2-\sqrt{3}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2+1}{2-\sqrt{3}}= \\ =\frac{4-4\sqrt{3}+3+1}{2-\sqrt{3}}=\frac{8-4\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=\frac{4\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{3}}=4 \\ p=-4 \\ q=x_1·x_2=\left(2-\sqrt{3}\right)·\frac{1}{2-\sqrt{3}}=1 \\ {x}^2+px+q=0 \\ {x}^2-4x+1=0 \end{gathered}$$

Для составления квадратного уравнения по его корням $x_1$ и $x_2$ используется теорема, обратная теореме Виета. Уравнение имеет вид $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 = 0$, где $(x_1 + x_2)$ — это сумма корней, а $(x_1 \cdot x_2)$ — их произведение.

а) Даны корни $x_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$ и $x_2 = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$.
1. Найдем сумму корней:
$x_1 + x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
2. Найдем произведение корней. В числителе дроби используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 1^2}{4} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
3. Подставим найденные значения суммы и произведения в общую формулу уравнения:
$x^2 - (\sqrt{3})x + \frac{1}{2} = 0$.
Чтобы избавиться от дроби в коэффициентах, умножим все уравнение на 2:
$2(x^2 - \sqrt{3}x + \frac{1}{2}) = 2 \cdot 0$
$2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.
Ответ: $2x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$.

б) Даны корни $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$.
1. Упростим второй корень, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2 + \sqrt{3})$:
$x_2 = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4-3} = 2 + \sqrt{3}$.
2. Теперь, когда известны оба корня ($x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$), найдем их сумму:
$x_1 + x_2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$.
3. Найдем произведение корней, используя формулу разности квадратов:
$x_1 \cdot x_2 = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
4. Подставим найденные значения суммы (4) и произведения (1) в формулу квадратного уравнения:
$x^2 - 4x + 1 = 0$.
Ответ: $x^2 - 4x + 1 = 0$.

1. Приведите пример целого уравнения и пример дробного рационального уравнения.

Так, уравнение 2x+5=3(8-x) целое, а уравнения

$x-\frac{5}{x}=-3x+19$ и $\frac{x-4}{2x+1}=\frac{x-9}{x}$ Дробные рациональные.

Рациональные уравнения — это уравнения, обе части которых являются рациональными выражениями. Они делятся на два вида: целые и дробные рациональные уравнения. Ключевое различие между ними состоит в том, есть ли в уравнении деление на выражение, содержащее переменную.

Пример целого уравнения

Целое уравнение — это уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями (многочленами). Это означает, что в уравнении отсутствует деление на переменную. К целым уравнениям относятся, например, линейные, квадратные и кубические уравнения.

В качестве примера можно привести квадратное уравнение:

$2x^2 - 7x + 5 = 0$

Здесь все члены уравнения являются целыми выражениями, и нет переменной в знаменателе.

Ответ: $2x^2 - 7x + 5 = 0$.

Пример дробного рационального уравнения

Дробное рациональное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы одна из его частей (левая или правая) является дробным выражением, то есть содержит переменную в знаменателе дроби. При решении таких уравнений необходимо находить область допустимых значений (ОДЗ), исключая те значения переменной, которые обращают знаменатель в ноль.

В качестве примера можно привести следующее уравнение:

$\frac{x}{x-3} + \frac{1}{x+5} = 1$

Это уравнение является дробным рациональным, так как переменная $x$ находится в знаменателях $x-3$ и $x+5$. Область допустимых значений для этого уравнения определяется условиями $x-3 \neq 0$ и $x+5 \neq 0$, то есть $x \neq 3$ и $x \neq -5$.

Ответ: $\frac{x}{x-3} + \frac{1}{x+5} = 1$.

2. На примере уравнения 6x² - 1 - 1 = 2x - 1 - 3x + 1 объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

$$\begin{gathered} \frac{6}{x^2-1}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1} \\ \frac{6}{(x-1)(x+1)}-1=\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1} \end{gathered}$$

Общий знаменатель дроби равен (х-1)(х+1). Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

$$\begin{gathered} 6-(x-1)(x+1)=2(x+1)-3(x-1) \\ 6-(x^2-1)=2х+2-3х+3 \\ 6-x^2+1=5-х \\ -x^2+x+2=0 \\ D=1-4·(-1)·2=1+8=9 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{-2}; x=\frac{-1\pm 3}{-2} \\ {x}_1=-1; x_2=2 \end{gathered}$$

Если х=-1, то (x-1)(x+1)=0,

если х=2, то (x-1)(x+1)≠0.

Значит, конем исходного уравнения является число 2.

Ответ: 2.

Дробно-рациональное уравнение – это уравнение, в котором левая и/или правая части являются дробными выражениями. Чтобы решить такое уравнение, необходимо выполнить последовательность шагов. Рассмотрим их на примере уравнения $\frac{6}{x^2 - 1} - 1 = \frac{2}{x - 1} - \frac{3}{x + 1}$.

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Основное ограничение в дробных уравнениях — знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому мы должны найти все значения переменной, при которых знаменатели обращаются в ноль, и исключить их из возможных решений.

В данном уравнении три знаменателя: $x^2 - 1$, $x - 1$ и $x + 1$.

• $x^2 - 1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.
• $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
• $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x$ не может быть равен $1$ и $-1$.

2. Перенести все члены уравнения в одну сторону и привести к общему знаменателю

Перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:

$\frac{6}{x^2 - 1} - 1 - \frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = 0$

Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого разложим знаменатели на множители: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$. Видно, что НОЗ равен $(x-1)(x+1)$. Приведем все члены уравнения к этому знаменателю:

$\frac{6}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{2 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$

3. Избавиться от знаменателя, приравняв числитель к нулю

Теперь, когда все члены имеют общий знаменатель, мы можем записать их как одну дробь:

$\frac{6 - (x^2 - 1) - 2(x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие неравенства знаменателя нулю мы уже учли в ОДЗ. Поэтому мы можем приравнять числитель к нулю и решать полученное уравнение:

$6 - (x^2 - 1) - 2(x+1) + 3(x-1) = 0$

4. Решить полученное целое уравнение

Раскроем скобки и упростим выражение:

$6 - x^2 + 1 - 2x - 2 + 3x - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + (-2x + 3x) + (6 + 1 - 2 - 3) = 0$

$-x^2 + x + 2 = 0$

Для удобства умножим обе части уравнения на $-1$:

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

5. Проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ

Мы получили два потенциальных корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Сравним их с ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$):

• Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq -1$.
• Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет ОДЗ. Это посторонний корень, так как при $x = -1$ знаменатели $x^2-1$ и $x+1$ обращаются в ноль.

Следовательно, единственным решением уравнения является $x=2$.

Ответ: 2