Страница 157 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

671. Является ли пара чисел (–1; 3) решением уравнения:

(-1;3)

a) $x^{2}x^2$- y + 2 = 0

${\left(-1\right)}^2-3+2=1-3+2=-2+2=0$

Ответ: да

б) xy+y = 6

-1*3+3=-3+3=0≠6

Ответ: нет

в) $x^2+y^2=10$

${\left(-1\right)}^2+3^2=1+9=10$

Ответ: да

г) $x^2-y^2+8=0$

${\left(-1\right)}^2-3^2+8=1-9+8=-8+8=0$

Ответ: да

Чтобы определить, является ли пара чисел $(-1; 3)$ решением уравнения, необходимо подставить значения $x = -1$ и $y = 3$ в каждое уравнение и проверить, выполняется ли равенство.

а) $x^2 - y + 2 = 0$
Подставляем значения $x = -1$ и $y = 3$:
$(-1)^2 - 3 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$
Получаем верное равенство $0 = 0$.
Ответ: да, является.

б) $xy + y = 6$
Подставляем значения $x = -1$ и $y = 3$:
$(-1) \cdot 3 + 3 = -3 + 3 = 0$
Получаем неверное равенство $0 = 6$.
Ответ: нет, не является.

в) $x^2 + y^2 = 10$
Подставляем значения $x = -1$ и $y = 3$:
$(-1)^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$
Получаем верное равенство $10 = 10$.
Ответ: да, является.

г) $x^2 - y^2 + 8 = 0$
Подставляем значения $x = -1$ и $y = 3$:
$(-1)^2 - 3^2 + 8 = 1 - 9 + 8 = 0$
Получаем верное равенство $0 = 0$.
Ответ: да, является.

672. Найдите три каких-нибудь решения уравнения:

a) x-2y=8

x=2y+8

y=1; x=10 (10;1)

y=-4; x=0 (0;-4)

y=5; x=18 (18;5)

б) x+0y=10

(10;5); (10;-3); (10;-100)

в) x-xy=12

x(1-y)=12

$x=\frac{12}{1-y}$

y=-5; x=2 (2;-5)

y=0; x=12 (12;0)

y=-11; x=1 (1;-11)

г) (x+y)(y-2)=0

x=3; y=2 (3;2)

x=7; y=-7 (7;-7)

x=10; y=2 (10;2)

а) $x - 2y = 8$

Это линейное уравнение с двумя переменными, которое имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти какие-либо три решения, мы можем задать произвольное значение для одной переменной и вычислить соответствующее значение для другой.

1. Пусть $y = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$x - 2 \cdot 0 = 8$
$x - 0 = 8$
$x = 8$
Первое решение: $(8; 0)$.

2. Пусть $x = 0$. Подставим это значение в уравнение:
$0 - 2y = 8$
$-2y = 8$
$y = \frac{8}{-2}$
$y = -4$
Второе решение: $(0; -4)$.

3. Пусть $y = 1$. Подставим это значение в уравнение:
$x - 2 \cdot 1 = 8$
$x - 2 = 8$
$x = 8 + 2$
$x = 10$
Третье решение: $(10; 1)$.

Ответ: например, $(8; 0)$, $(0; -4)$, $(10; 1)$.

б) $x + 0y = 10$

Упростим данное уравнение:
$x + 0 = 10$
$x = 10$
Это уравнение показывает, что значение переменной $x$ всегда должно быть равно 10, в то время как переменная $y$ может принимать любое значение. Выберем три произвольных значения для $y$.

1. Пусть $y = 1$. Тогда $x = 10$. Решение: $(10; 1)$.

2. Пусть $y = -5$. Тогда $x = 10$. Решение: $(10; -5)$.

3. Пусть $y = 100$. Тогда $x = 10$. Решение: $(10; 100)$.

Ответ: например, $(10; 1)$, $(10; -5)$, $(10; 100)$.

в) $x - xy = 12$

Для нахождения решений вынесем переменную $x$ за скобки:
$x(1 - y) = 12$
Теперь мы можем найти решения, подбирая значения для $x$ и вычисляя $y$, или наоборот. Удобно выбирать такие значения для $x$, которые являются делителями числа 12.

1. Пусть $x = 1$.
$1 \cdot (1 - y) = 12$
$1 - y = 12$
$y = 1 - 12$
$y = -11$
Первое решение: $(1; -11)$.

2. Пусть $x = 3$.
$3 \cdot (1 - y) = 12$
$1 - y = \frac{12}{3}$
$1 - y = 4$
$y = 1 - 4$
$y = -3$
Второе решение: $(3; -3)$.

3. Пусть $x = -2$.
$-2 \cdot (1 - y) = 12$
$1 - y = \frac{12}{-2}$
$1 - y = -6$
$y = 1 - (-6)$
$y = 7$
Третье решение: $(-2; 7)$.

Ответ: например, $(1; -11)$, $(3; -3)$, $(-2; 7)$.

г) $(x + y)(y - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнение распадается на два случая.

Случай 1: $y - 2 = 0$
Из этого уравнения получаем $y = 2$. При этом $x$ может быть любым действительным числом. Например, если $x=0$, получаем решение $(0; 2)$. Если $x=5$, получаем решение $(5; 2)$.

Случай 2: $x + y = 0$
Из этого уравнения получаем $x = -y$. Это означает, что решением будет любая пара противоположных по знаку чисел. Например, если $y=1$, то $x=-1$, получаем решение $(-1; 1)$. Если $y=-4$, то $x=4$, получаем решение $(4; -4)$.

Выберем любые три решения, удовлетворяющие одному из этих случаев.

1. Из случая 1: пусть $x = 1$, тогда $y=2$. Решение: $(1; 2)$.

2. Из случая 1: пусть $x = -10$, тогда $y=2$. Решение: $(-10; 2)$.

3. Из случая 2: пусть $y = 3$, тогда $x=-3$. Решение: $(-3; 3)$.

Ответ: например, $(1; 2)$, $(-10; 2)$, $(-3; 3)$.

673. Определите степень уравнения:

а) x+4xy=5

x+4xy-5=0

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} x^5+8x^3{y}^3=1 \\ {x}^5+8x^3{y}^3-1=0 \end{gathered}$$

Ответ: 6

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 8x^6-y^2-2x^4(4x^2-y) \\ 8x^6-y^2-2x^4\left(4x^{2}y\right)=0 \\ 8x^6-y^2-8x^6+2x^{4}y=0 \\ 2x^{4}y-y^2=0 \end{gathered}$$

Ответ: 5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} {(x-2y)}^2-x^2-4y(y-x)+5x \\ {x}^2-4xy+4y^2-x^2=4y^2-4xy+5x \\ 4y^2-4xy-4y^2+4xy-5x=0 \\ -5x=0 \end{gathered}$$

Ответ: 1

а) $x + 4xy = 5$

Для определения степени уравнения необходимо привести его к стандартному виду, перенеся все члены в левую часть: $x + 4xy - 5 = 0$. Степенью уравнения является наибольшая из степеней его членов. Степень члена (одночлена) – это сумма показателей степеней входящих в него переменных.

Степень члена $x$ (т.е. $x^1$) равна 1.

Степень члена $4xy$ (т.е. $4x^1y^1$) равна сумме показателей степеней: $1 + 1 = 2$.

Степень свободного члена $-5$ равна 0.

Наибольшая из степеней (1, 2, 0) – это 2. Следовательно, уравнение имеет вторую степень.

Ответ: 2.

б) $x^5 + 8x^3y^3 = 1$

Приводим уравнение к стандартному виду: $x^5 + 8x^3y^3 - 1 = 0$.

Определяем степени членов:

Степень члена $x^5$ равна 5.

Степень члена $8x^3y^3$ равна $3 + 3 = 6$.

Степень члена $-1$ равна 0.

Наибольшая степень равна 6. Уравнение имеет шестую степень.

Ответ: 6.

в) $8x^6 - y^2 = 2x^4(4x^2 - y)$

Сначала упростим уравнение, раскрыв скобки:

$8x^6 - y^2 = 2x^4 \cdot 4x^2 - 2x^4 \cdot y$

$8x^6 - y^2 = 8x^6 - 2x^4y$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$8x^6 - y^2 - 8x^6 + 2x^4y = 0$

$-y^2 + 2x^4y = 0$

Определим степени членов полученного уравнения:

Степень члена $-y^2$ равна 2.

Степень члена $2x^4y$ (т.е. $2x^4y^1$) равна $4 + 1 = 5$.

Наибольшая степень равна 5. Уравнение имеет пятую степень.

Ответ: 5.

г) $(x - 2y)^2 - x^2 = 4y(y - x) + 5x$

Упростим обе части уравнения. Левая часть:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2y + (2y)^2) - x^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 - x^2 = -4xy + 4y^2$

Правая часть:

$4y(y - x) + 5x = 4y^2 - 4xy + 5x$

Приравняем обе части: $-4xy + 4y^2 = 4y^2 - 4xy + 5x$.

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные:

$-4xy + 4y^2 - (4y^2 - 4xy + 5x) = 0$

$-4xy + 4y^2 - 4y^2 + 4xy - 5x = 0$

$-5x = 0$

Степень единственного члена $-5x$ (т.е. $-5x^1$) равна 1. Уравнение имеет первую степень.

Ответ: 1.