Страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

644. Найдите значение выражения x² – 2xy + y² при x = + 3 5, y = 3 – 5.

$$\begin{gathered} x^2-2xy+y^2={(x-y)}^2 \\ \text{при} x=3+\sqrt{5}, y=3-\sqrt{5} \\ (3+\sqrt{5}-{(3-\sqrt{5}))}^2={(3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5})}^2= \\ =(2\sqrt{5}{)}^2=20 \end{gathered}$$

Данное выражение $x^2 - 2xy + y^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности двух чисел.

$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Это позволяет значительно упростить вычисления. Вместо того чтобы подставлять значения $x$ и $y$ в исходное выражение, мы можем сначала найти разность $x-y$, а затем возвести ее в квадрат.

Даны значения: $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$.

1. Найдем разность $x - y$:
$x - y = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}$
Сокращаем $3$ и $-3$, складываем $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$:
$x - y = 2\sqrt{5}$

2. Теперь возведем полученный результат в квадрат, чтобы найти значение выражения $(x - y)^2$:
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20

645. Определите, принадлежат ли графику функции y = x² + 2x + 5 точки A(1,5; 7,25), B(–3,2; 9) и C(3 - 1; 7).

y=x²+2x+5

A(1,5; 7,25)

y=1,5²+2*1,5+5=2,25+3+5=10,25≠7,25

Ответ: не принадлежит

B(-3,2; 9)

y=(-3,2)²+2*(-3,2)+5=10,24-6,4+5= 8,84≠9

Ответ: не принадлежит

C($\sqrt{3}-1$; 7)

$$\begin{gathered} y={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2+2\left(\sqrt{3}-1\right)+5= \\ =3-2\sqrt{3}+1+2\sqrt{3}-2+5=7 \end{gathered}$$

Ответ: принадлежит

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, нужно подставить ее координаты (x; y) в уравнение функции $y = x^2 + 2x + 5$. Если в результате вычислений получится верное равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

Точка A(1,5; 7,25)

Подставим координаты точки A в уравнение функции, где $x = 1,5$ и $y = 7,25$:

$y = (1,5)^2 + 2 \cdot 1,5 + 5$

$y = 2,25 + 3 + 5$

$y = 10,25$

Сравним полученное значение $y$ с ординатой точки A: $10,25 \neq 7,25$.

Равенство неверное.

Ответ: точка A не принадлежит графику функции.

Точка B(-3,2; 9)

Подставим координаты точки B в уравнение функции, где $x = -3,2$ и $y = 9$:

$y = (-3,2)^2 + 2 \cdot (-3,2) + 5$

$y = 10,24 - 6,4 + 5$

$y = 3,84 + 5$

$y = 8,84$

Сравним полученное значение $y$ с ординатой точки B: $8,84 \neq 9$.

Равенство неверное.

Ответ: точка B не принадлежит графику функции.

Точка C($\sqrt{3}-1$; 7)

Подставим координаты точки C в уравнение функции, где $x = \sqrt{3}-1$ и $y = 7$:

$y = (\sqrt{3}-1)^2 + 2 \cdot (\sqrt{3}-1) + 5$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$y = ((\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2) + (2\sqrt{3} - 2) + 5$

$y = (3 - 2\sqrt{3} + 1) + 2\sqrt{3} - 2 + 5$

$y = 4 - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2 + 5$

Взаимно уничтожим $-2\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$:

$y = 4 - 2 + 5$

$y = 7$

Сравним полученное значение $y$ с ординатой точки C: $7 = 7$.

Равенство верное.

Ответ: точка C принадлежит графику функции.

646. Упростите выражение:

a) $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\sqrt{x}=\frac{x-y-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x-y-x+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}·\sqrt{y}-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}= \\ =\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{y} \end{gathered}$$

б) $\sqrt{x}-\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)-\left(x-y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=$

$$\begin{gathered} =\frac{x+\sqrt{x}·\sqrt{y}-x+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}·\sqrt{y}+y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}= \\ =\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{y} \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \sqrt{x}$ воспользуемся формулой разности квадратов для числителя дроби. Заметим, что $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$, при условии, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Тогда числитель $x-y$ можно представить в виде:

$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} - \sqrt{x}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x}-\sqrt{y})$, при условии, что $\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$ (т.е. $x \neq y$):

$(\sqrt{x}+\sqrt{y}) - \sqrt{x}$

Теперь выполним вычитание:

$\sqrt{x}+\sqrt{y} - \sqrt{x} = \sqrt{y}$

Ответ: $\sqrt{y}$

б) Упростим выражение $\sqrt{x} - \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$. Как и в предыдущем задании, разложим числитель дроби $x-y$ на множители, используя формулу разности квадратов:

$x - y = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Подставим полученное выражение в исходное:

$\sqrt{x} - \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{x}+\sqrt{y})$, при условии, что $\sqrt{x}+\sqrt{y} \neq 0$ (что верно для $x \ge 0, y \ge 0$, кроме случая $x=y=0$):

$\sqrt{x} - (\sqrt{x}-\sqrt{y})$

Раскроем скобки. Обратите внимание, что знак перед скобкой – минус, поэтому знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$\sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y}$

Приведем подобные слагаемые:

$\sqrt{x} - \sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{y}$

Ответ: $\sqrt{y}$

647. Сравните с нулём значение выражения:

$\mathbf{\text{а)}} \frac{3ab}{a^2+b^2}<0,$ где a>0, b<0, значит ab<0, a $a^2+b^2>0$

$\mathbf{\text{б)}} \frac{5a^3{b}^2}{a+b}>0,$ где a<0, b<0, тогда $$\begin{gathered} a^3<0, b^2>0\Rightarrow a^3{b}^2<0 \\ a+b<0 \end{gathered}$$

а)

Для того чтобы сравнить с нулём значение выражения $\frac{3ab}{a^2 + b^2}$ при условиях $a > 0$ и $b < 0$, необходимо определить знаки числителя и знаменателя дроби.

1. Знак числителя $3ab$:
По условию $a$ — положительное число ($a > 0$), а $b$ — отрицательное число ($b < 0$).
Произведение положительного числа $a$ и отрицательного числа $b$ будет отрицательным: $ab < 0$.
При умножении этого отрицательного произведения на положительное число 3, результат также будет отрицательным.
Следовательно, $3ab < 0$.

2. Знак знаменателя $a^2 + b^2$:
Квадрат любого ненулевого числа всегда положителен. Так как $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.
Сумма двух положительных чисел ($a^2$ и $b^2$) всегда является положительным числом.
Следовательно, $a^2 + b^2 > 0$.

3. Знак всего выражения:
Дробь представляет собой частное от деления отрицательного числителя на положительный знаменатель. Результат такого деления всегда отрицателен.
Таким образом, $\frac{3ab}{a^2 + b^2} < 0$.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

б)

Для того чтобы сравнить с нулём значение выражения $\frac{5a^3b^2}{a + b}$ при условиях $a < 0$ и $b < 0$, необходимо определить знаки числителя и знаменателя дроби.

1. Знак числителя $5a^3b^2$:
По условию $a < 0$, следовательно, $a^3$ (нечётная степень отрицательного числа) будет отрицательным числом: $a^3 < 0$.
По условию $b < 0$, следовательно, $b^2$ (чётная степень отрицательного числа) будет положительным числом: $b^2 > 0$.
Числитель является произведением положительного числа 5, отрицательного числа $a^3$ и положительного числа $b^2$.
Произведение $5 \cdot a^3 \cdot b^2$ имеет знак $(+) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.
Следовательно, $5a^3b^2 < 0$.

2. Знак знаменателя $a + b$:
По условию $a < 0$ и $b < 0$.
Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом.
Следовательно, $a + b < 0$.

3. Знак всего выражения:
Дробь представляет собой частное от деления отрицательного числителя на отрицательный знаменатель. Результат такого деления всегда положителен.
Таким образом, $\frac{5a^3b^2}{a + b} > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.