Номер 644, страница 151 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 644, страница 151.

644. Найдите значение выражения x² – 2xy + y² при x = + 3 5, y = 3 – 5.

$$\begin{gathered} x^2-2xy+y^2={(x-y)}^2 \\ \text{при} x=3+\sqrt{5}, y=3-\sqrt{5} \\ (3+\sqrt{5}-{(3-\sqrt{5}))}^2={(3+\sqrt{5}-3+\sqrt{5})}^2= \\ =(2\sqrt{5}{)}^2=20 \end{gathered}$$

Данное выражение $x^2 - 2xy + y^2$ является формулой сокращенного умножения, а именно квадратом разности двух чисел.

$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$

Это позволяет значительно упростить вычисления. Вместо того чтобы подставлять значения $x$ и $y$ в исходное выражение, мы можем сначала найти разность $x-y$, а затем возвести ее в квадрат.

Даны значения: $x = 3 + \sqrt{5}$ и $y = 3 - \sqrt{5}$.

1. Найдем разность $x - y$:
$x - y = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} - 3 + \sqrt{5}$
Сокращаем $3$ и $-3$, складываем $\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$:
$x - y = 2\sqrt{5}$

2. Теперь возведем полученный результат в квадрат, чтобы найти значение выражения $(x - y)^2$:
$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$

Ответ: 20