Номер 637, страница 149 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 637, страница 149.

637. Найдите значение переменной y, при котором:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}} \frac{3y+9}{3y-1}+\frac{2y-13}{2y+5}=2 /·\left(3y-1\right)\left(2y+5\right) \\ \left(3y+9\right)\left(2y+5\right)+\left(2y-13\right)\left(3y-1\right)=2\left(3y-1\right)\left(2y+5\right) \\ 6y^2+15y+18y+45+6y^2-2y-39y+13= \\ =2\left(6y^2+15y-2y-5\right) \\ 12y^2-8y+58=12y^2+26y-10 \\ 12y^2-8y+58-12y^2-26y+10=0 \\ -34y+68=0 \\ -34y=-68 \\ y=2 \end{gathered}$$

Если y=2, то $\left(3y-1\right)\left(2y+5\right)=\left(3·2-1\right)\left(2·2+5\right)=5\cdot 9=45\ne 0$

Ответ: 2

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} \frac{5y+13}{5y+4}-\frac{4-6y}{3y-1}=3 /·\left(5y+4\right)\left(3y-1\right) \\ \left(5y+13\right)\left(3y-1\right)-\left(4-6y\right)\left(5y+4\right)=3\left(5y+4\right)\left(3y-1\right) \\ 15y^2-5y+39y-13-\left(20y+16-30y^2-24\right)= \\ =3\left(15y^2-5y+12y-4\right) \\ 15y^2+34y-13-20y+30y^2+8=45y^2+21y-12 \\ 45y^2+14y-5=45y^2+21y-12 \\ 45y^2-45y^2+14y-21y-5+12=0 \\ -7y+7=0 \\ -7y=-7 \\ y=1 \end{gathered}$$

Если у=1, то (5*1+4)(3*1-1)=9*2=18≠0

Ответ: 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{y+1}{y-5}+\frac{10}{y+5}=\frac{y+1}{y-5}\cdot \frac{10}{y+5} /\cdot \left(y-5\right)\left(y+5\right) \\ \left(y+1\right)\left(y+5\right)+10\left(y-5\right)=10\left(y+1\right) \\ {y}^2+5y+y+5+10y-50=10y+10 \\ {y}^2+16y-45-10y-10=0 \\ {y}^2+6y-55=0 \\ D=6^2-4\cdot 1\cdot \left(-55\right)=36+220=256 \\ y=\frac{-6\pm \sqrt{256}}{2}; y=\frac{-6\pm 16}{2} \\ y=5\text{ или }y=-11 \end{gathered}$$

Если $y=5y=5$, то $\left(y-5\right)\left(y+5\right)=y^2-25=5^2-25=0(y-5)(y+5)=y^2-25=5^2-25=0$,

если $y=-11y=-11$, то $y^2-25={\left(-11\right)}^2-25=121-25=96\ne 0$

Ответ: -11

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{6}{y-4}-\frac{y}{y+2}=\frac{6}{y-4}\cdot \frac{y}{y+2} /\cdot \left(y-4\right)\left(y+2\right) \\ 6\left(y+2\right)-y\left(y-4\right)=6y \\ 6y+12-y^2+4y-6y=0 \\ -y^2+4y+12=0 \\ D=4^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 12=16+48=64 \\ y=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{-2};y=\frac{-4\pm 8}{-2} \\ y=-2\text{ или }y=6 \end{gathered}$$

Если $y=-2y=-2$, то $\left(y-4\right)\left(y+2\right)=\left(-2-4\right)\left(-2+2\right)=0(y-4)(y+2)\; =\; (-2-4)\; (-2+2)=0$,

если $y=6y=6$, то $\left(y-4\right)\left(y+2\right)=\left(6-4\right)·\left(6+2\right)=2·8=16\ne 0$

Ответ: 6

а)

Составим уравнение согласно условию задачи: сумма дробей $\frac{3y+9}{3y-1}$ и $\frac{2y-13}{2y+5}$ равна 2.

$\frac{3y+9}{3y-1} + \frac{2y-13}{2y+5} = 2$

Определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю:

$3y-1 \neq 0 \implies 3y \neq 1 \implies y \neq \frac{1}{3}$

$2y+5 \neq 0 \implies 2y \neq -5 \implies y \neq -2.5$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(3y-1)(2y+5)$:

$\frac{(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1)}{(3y-1)(2y+5)} = 2$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $y$ входит в ОДЗ:

$(3y+9)(2y+5) + (2y-13)(3y-1) = 2(3y-1)(2y+5)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(6y^2 + 15y + 18y + 45) + (6y^2 - 2y - 39y + 13) = 2(6y^2 + 15y - 2y - 5)$

Приведем подобные слагаемые:

$(6y^2 + 33y + 45) + (6y^2 - 41y + 13) = 2(6y^2 + 13y - 5)$

$12y^2 - 8y + 58 = 12y^2 + 26y - 10$

Перенесем все слагаемые с $y$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$58 + 10 = 26y + 8y$

$68 = 34y$

$y = \frac{68}{34}$

$y = 2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $y=2$ не равно $\frac{1}{3}$ и не равно $-2.5$. Следовательно, корень является решением уравнения.

Ответ: 2.

б)

Составим уравнение согласно условию: разность дробей $\frac{5y+13}{5y+4}$ и $\frac{4-6y}{3y-1}$ равна 3.

$\frac{5y+13}{5y+4} - \frac{4-6y}{3y-1} = 3$

ОДЗ: $5y+4 \neq 0 \implies y \neq -\frac{4}{5}$ и $3y-1 \neq 0 \implies y \neq \frac{1}{3}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(5y+4)(3y-1)$:

$\frac{(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(5y+4)}{(5y+4)(3y-1)} = 3$

Умножим обе части на знаменатель:

$(5y+13)(3y-1) - (4-6y)(5y+4) = 3(5y+4)(3y-1)$

Раскроем скобки:

$(15y^2 - 5y + 39y - 13) - (20y + 16 - 30y^2 - 24y) = 3(15y^2 - 5y + 12y - 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$(15y^2 + 34y - 13) - (-30y^2 - 4y + 16) = 3(15y^2 + 7y - 4)$

$15y^2 + 34y - 13 + 30y^2 + 4y - 16 = 45y^2 + 21y - 12$

$45y^2 + 38y - 29 = 45y^2 + 21y - 12$

Сократим $45y^2$ в обеих частях и решим линейное уравнение:

$38y - 29 = 21y - 12$

$38y - 21y = 29 - 12$

$17y = 17$

$y = 1$

Найденный корень $y=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq -4/5$ и $1 \neq 1/3$).

Ответ: 1.

в)

Составим уравнение: сумма дробей $\frac{y+1}{y-5}$ и $\frac{10}{y+5}$ равна их произведению.

$\frac{y+1}{y-5} + \frac{10}{y+5} = \frac{y+1}{y-5} \cdot \frac{10}{y+5}$

ОДЗ: $y-5 \neq 0 \implies y \neq 5$ и $y+5 \neq 0 \implies y \neq -5$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y-5)(y+5)$, а правую часть перемножим:

$\frac{(y+1)(y+5) + 10(y-5)}{(y-5)(y+5)} = \frac{10(y+1)}{(y-5)(y+5)}$

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$(y+1)(y+5) + 10(y-5) = 10(y+1)$

Раскроем скобки:

$y^2 + 5y + y + 5 + 10y - 50 = 10y + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 16y - 45 = 10y + 10$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 + 16y - 10y - 45 - 10 = 0$

$y^2 + 6y - 55 = 0$

Решим уравнение с помощью теоремы Виета. Ищем два числа, сумма которых равна -6, а произведение -55. Это числа 5 и -11.

$y_1 = 5$, $y_2 = -11$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1=5$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $y-5$ обращается в ноль. Это посторонний корень. Корень $y_2=-11$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -11.

г)

Составим уравнение: разность дробей $\frac{6}{y-4}$ и $\frac{y}{y+2}$ равна их произведению.

$\frac{6}{y-4} - \frac{y}{y+2} = \frac{6}{y-4} \cdot \frac{y}{y+2}$

ОДЗ: $y-4 \neq 0 \implies y \neq 4$ и $y+2 \neq 0 \implies y \neq -2$.

Приведем левую часть к общему знаменателю $(y-4)(y+2)$, а правую перемножим:

$\frac{6(y+2) - y(y-4)}{(y-4)(y+2)} = \frac{6y}{(y-4)(y+2)}$

Приравняем числители, так как знаменатели одинаковы и не равны нулю:

$6(y+2) - y(y-4) = 6y$

Раскроем скобки:

$6y + 12 - y^2 + 4y = 6y$

Приведем подобные слагаемые:

$-y^2 + 10y + 12 = 6y$

Перенесем все в левую часть:

$-y^2 + 10y - 6y + 12 = 0$

$-y^2 + 4y + 12 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$y^2 - 4y - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 4, а произведение -12. Это числа 6 и -2.

$y_1 = 6$, $y_2 = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $y_1=6$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $y_2=-2$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель $y+2$ обращается в ноль. Это посторонний корень.

Ответ: 6.