Номер 631, страница 148 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

26. Решение дробных рациональных уравнений. § 9. Дробные рациональные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 631, страница 148.

631. Найдите корни уравнения:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} \frac{y^2}{y+3}=\frac{y}{y+3} /·(y+3) \\ {y}^2=y \\ {y}^2-y=0 \\ y(y-1)=0 \\ \begin{array}{ccc}y=0& \text{или}& y-1=0\\ & & y=1\end{array} \end{gathered}$$

Если y=0, то y+3=0+3=3≠0;

Если y=1, то y+3=1+3=4≠0

Ответ: 0;1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}}\mathbf{ }\frac{x^2}{x^2-4}=\frac{5x-6}{x^2-4} /·\left(x^2-4\right) \\ {x}^2=5x-6 \\ {x}^2-5x+6=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2}, x=\frac{5\pm 1}{2} \\ x=3 \text{или }x=2 \end{gathered}$$

Если x=3, то $x^2-4=3^2-4=9-4=5\ne 0,$

Если x=2, то $x^2-4=2^2-4=4-4=0 x^2\; -\; 4\; =\; 2^2\; -\; 4\; =\; 4\; -\; 4\; =\; 0$

Ответ: 3

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2x^2}{x-2}=\frac{-7x+6}{2-x} \\ \frac{2x^2}{x-2}=\frac{-\left(7x-6\right)}{-\left(x-2\right)} \\ \frac{2x^2}{x-2}=\frac{7x-6}{x-2} /\cdot \left(x-2\right) \\ 2x^2=7x-6 \\ 2x^2-7x+6=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot 2\cdot 6=49-48=1 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{1}}{4}; x=\frac{7\pm 1}{4} \\ x=2 \text{или }x=1,5 \end{gathered}$$

Если x=2, то x-2=2-2=0,

если x=1,5, то x-2=1,5-2=-0,5≠0

Ответ: 1,5

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{5}{5-y} \\ \frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{5}{-\left(y-5\right)} \\ \frac{y^2-6y}{y-5}=\frac{-5}{y-5} /·(y-5) \\ {y}^2-6y=-5 \\ {y}^2-6y+5=0 \\ D={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16 \\ y=\frac{6\pm \sqrt{16}}{2}, y=\frac{6\pm 4}{2} \\ y=5\text{ или }y=1 \end{gathered}$$

Если y=5, то y-5=5-5=0,

если y=1, то y-5=1-5=-4≠0

Ответ: 1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д) }}\frac{2x-1}{x+7}=\frac{3x+4}{x-1} /·\left(x+7\right)\left(x-1\right) \\ \left(2x-1\right)\left(x-1\right)=\left(3x+4\right)\left(x+7\right) \\ 2x^2-2x-x+1=3x^2+21x+4x+28 \\ 2x^2-3x+1-3x^2-25x-28=0 \\ -x^2-28x-27=0 \\ D={\left(-28\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-27\right)=784-108=676 \\ x=\frac{28\pm \sqrt{676}}{-2}; x=\frac{28\pm 26}{-2} \\ x=-27\text{ или }x=-1 \end{gathered}$$

Если x=-27, то $$\begin{gathered} \left(x+7\right)\left(x-1\right)=\left(-27+7\right)\left(-27-1\right)= \\ =-20\cdot \left(-28\right)=560\ne 0, \end{gathered}$$

если x=-1, то $\left(x+7\right)\left(x-1\right)=\left(-1+7\right)\left(-1-1\right)=6\cdot \left(-2\right)=-12\mathrm{\ne }0(x+7)(x-1)=(-1+7)(-1-1)=6\backslash cdot(-2)\; =\; -12\; \backslash neq\; 0$

Ответ: -27; -1

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е) }}\frac{2y+3}{2y-1}=\frac{y-5}{y+3} /·\left(2y-1\right)\left(y+3\right) \\ \left(2y+3\right)\left(y+3\right)=\left(y-5\right)\left(2y-1\right) \\ 2y^2+6y+3y+9=2y^2-y-10y+5 \\ 2y^2+9y+9-2y^2+11y-5=0 \\ 20y+4=0 \\ 20y=-4 \\ y=-\frac{4}{20} \\ y=-\frac{1}{5} \end{gathered}$$

Если $y=-{\displaystyle \frac{1}{5}}y=-\backslash frac\{1\}\{5\}$, то

$$\begin{gathered} \left(2y-1\right)\left(y+3\right)=\left(2\left(-\frac{1}{5}\right)-1\right)\left(-\frac{1}{5}+3\right)=\left(-\frac{2}{5}-1\right)\times \\ \times \left(\frac{-1+15}{5}\right)=\frac{-2+5}{5}\cdot \frac{14}{5}=-\frac{7·14}{5·5}=-\frac{98}{25}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{1}{5}}-\backslash frac\{1\}\{5\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж) }}\frac{5y+1}{y+1}=\frac{y+2}{y} /·y\left(y+1\right) \\ \left(5y+1\right)y=\left(y+2\right)\left(y+1\right) \\ 5y^2+y=y^2+y+2y+2 \\ 5y^2-y^2+y-y-2y-2=0 \\ 4y^2-2y-2=0 \\ D={\left(-2\right)}^2-4\cdot 4\cdot \left(-2\right)=4+32=36 \\ y=\frac{2\pm \sqrt{36}}{8}; y=\frac{2\pm 6}{8} \\ y=1\text{ или }y=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Если $y=1y=1$, то $y\left(y+1\right)=1\cdot \left(1+1\right)=2,$

Если $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}y\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}$, то $-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\ne }0-\backslash frac\{1\}\{2\}(-\backslash frac\{1\}\{2\}+1)\; =\; -\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\; -\backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash neq\; 0$

Ответ: $-{\displaystyle \frac{1}{2}};1-\backslash frac\{1\}\{2\};\; 1$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з) }}\frac{1+3x}{1-2x}=\frac{5-3x}{1+2x} /\cdot \left(1-2x\right)\left(1+2x\right) \\ \left(1+3x\right)\left(1+2x\right)=\left(5-3x\right)\left(1-2x\right) \\ 1+2x+3x+6x^2=5-10x-3x+6x^2 \\ 6x^2+5x+1-6x^2+13x-5=0 \\ 18x-4=0 \\ 18x=4 \\ x=\frac{4}{18} \\ x=\frac{2}{9} \end{gathered}$$

Если x=$\frac{2}{9}$, то

$$\begin{gathered} \left(1-2x\right)\left(1+2x\right)=1-4x^2=1-4{\left(\frac{2}{9}\right)}^2= \\ =1-4\cdot \frac{4}{81}=1-\frac{16}{81}=\frac{81-16}{81}=\frac{65}{81}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: ${\displaystyle \frac{2}{9}}\backslash frac\{2\}\{9\}$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и) }}\frac{x-1}{2x+3}-\frac{2x-1}{3-2x}=0 /\cdot \left(3+2x\right)\left(3-2x\right) \\ \left(x-1\right)\left(3-2x\right)-\left(2x-1\right)\left(3+2x\right)=0 \\ 3x-2x^2-3+2x-\left(6x+4x^2-3-2x\right)=0 \\ -2x^2+5x-3-\left(4x^2+4x-3\right)=0 \\ -2x^2+5x-3-4x^2-4x+3=0 \\ -6x^2+x=0 \\ x\left(-6x+1\right)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& -6x+1=0\\ & & -6x=-1\\ & & x=\frac{1}{6}\end{array} \end{gathered}$$

Если $x=0x=0$, то $\left(3+2x\right)\left(3-2x\right)=\left(3+2·0\right)\left(3-2\cdot 0\right)=9\ne 0$

Если $x={\displaystyle \frac{1}{6}}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{6\}$, то

$$\begin{gathered} \left(3+2x\right)\left(3-2x\right)=\left(3+2·\frac{1}{6}\right)\left(3-2·\frac{1}{6}\right)= \\ =\left(3+\frac{1}{3}\right)\left(3-\frac{1}{3}\right)=9-\frac{1}{9}=8\frac{8}{9}\ne 0 \end{gathered}$$

Ответ: $0;{\displaystyle \frac{1}{6}}0;\; \backslash frac\{1\}\{6\}$

а) $\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $y+3 \neq 0$, следовательно, $y \neq -3$.
Так как знаменатели в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять числители:
$y^2 = y$
$y^2 - y = 0$
Вынесем $y$ за скобки:
$y(y-1) = 0$
Это дает нам два возможных корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 1$.
Проверяем корни по ОДЗ: оба корня ($0$ и $1$) не равны $-3$, следовательно, они являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 1$.

б) $\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}$
ОДЗ: $x^2-4 \neq 0$, то есть $(x-2)(x+2) \neq 0$. Отсюда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приравниваем числители, так как знаменатели равны:
$x^2 = 5x - 6$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Проверяем корни по ОДЗ: $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому это посторонний корень. $x_2 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $3$.

в) $\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}$
ОДЗ: $x-2 \neq 0$ и $2-x \neq 0$, что дает одно и то же условие $x \neq 2$.
Заметим, что $2-x = -(x-2)$. Преобразуем правую часть уравнения:
$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{-(x-2)}$
$\frac{2x^2}{x-2} = -\frac{-7x+6}{x-2}$
$\frac{2x^2}{x-2} = \frac{7x-6}{x-2}$
Теперь приравниваем числители:
$2x^2 = 7x-6$
$2x^2 - 7x + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
$x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}$
$x_1 = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$.
Проверяем корни по ОДЗ: $x_1 = 2$ не является решением (посторонний корень). $x_2 = 1,5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $1,5$.

г) $\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{5-y}$
ОДЗ: $y-5 \neq 0$ и $5-y \neq 0$, откуда $y \neq 5$.
Преобразуем знаменатель в правой части: $5-y = -(y-5)$.
$\frac{y^2-6y}{y-5} = \frac{5}{-(y-5)}$
$\frac{y^2-6y}{y-5} = -\frac{5}{y-5}$
Умножим обе части на $y-5$ (при условии $y \neq 5$):
$y^2-6y = -5$
$y^2-6y+5 = 0$
По теореме Виета: $y_1+y_2 = 6$ и $y_1 \cdot y_2 = 5$. Корни: $y_1=1$ и $y_2=5$.
Проверяем по ОДЗ: $y_1=1$ удовлетворяет условию. $y_2=5$ не удовлетворяет ОДЗ, это посторонний корень.
Ответ: $1$.

д) $\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}$
ОДЗ: $x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$ и $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)$
$2x^2 - 2x - x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28$
$2x^2 - 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (3x^2 - 2x^2) + (25x + 3x) + (28 - 1)$
$x^2 + 28x + 27 = 0$
По теореме Виета: $x_1+x_2=-28$ и $x_1 \cdot x_2=27$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -27$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-27; -1$.

е) $\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3}$
ОДЗ: $2y-1 \neq 0 \Rightarrow y \neq \frac{1}{2}$ и $y+3 \neq 0 \Rightarrow y \neq -3$.
Применим перекрестное умножение:
$(2y+3)(y+3) = (y-5)(2y-1)$
$2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 - y - 10y + 5$
$2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - 11y + 5$
Приведем подобные члены:
$9y + 11y = 5 - 9$
$20y = -4$
$y = -\frac{4}{20} = -\frac{1}{5} = -0,2$
Корень $y = -0,2$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-0,2$.

ж) $\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y}$
ОДЗ: $y+1 \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$ и $y \neq 0$.
Применим перекрестное умножение:
$y(5y+1) = (y+2)(y+1)$
$5y^2 + y = y^2 + y + 2y + 2$
$5y^2 + y = y^2 + 3y + 2$
$4y^2 - 2y - 2 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2y^2 - y - 1 = 0$
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$
$y_1 = \frac{1+3}{4} = 1$.
$y_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{2}{4} = -0,5$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-0,5; 1$.

з) $\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}$
ОДЗ: $1-2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{1}{2}$ и $1+2x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{1}{2}$.
Применим перекрестное умножение:
$(1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)$
$1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2$
$1 + 5x + 6x^2 = 5 - 13x + 6x^2$
$1 + 5x = 5 - 13x$
$5x + 13x = 5 - 1$
$18x = 4$
$x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
Корень $x = \frac{2}{9}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

и) $\frac{x-1}{2x+3} - \frac{2x-1}{3-2x} = 0$
ОДЗ: $2x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{3}{2}$ и $3-2x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{3}{2}$.
Перенесем вторую дробь в правую часть:
$\frac{x-1}{2x+3} = \frac{2x-1}{3-2x}$
Применим перекрестное умножение:
$(x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3)$
$3x - 2x^2 - 3 + 2x = 4x^2 + 6x - 2x - 3$
$-2x^2 + 5x - 3 = 4x^2 + 4x - 3$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (4x^2 + 2x^2) + (4x - 5x) + (-3 + 3)$
$6x^2 - x = 0$
$x(6x-1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$ и $6x-1=0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{6}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $0; \frac{1}{6}$.