Номер 627, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 627, страница 145.

627. Чем различаются графики функций y = x – 4 и x² - 6x + 8x - 2?

$$\begin{gathered} y=\frac{x^2-6x+8}{x-2} \\ {x}^2-6x+8=0 \\ D={(-6)}^2-4·1·8=36-32=4 \\ x=\frac{6\pm \sqrt{4}}{2}; x=\frac{6\pm 2}{2} \\ x=4 \text{или} x=2 \\ {x}^2-6x+8=(x-4)(x-2) \\ y=\frac{(x-4)(x-2)}{x-2}; y=x-4 \end{gathered}$$

Область определения y=x-4 - все действительные числа, а область определения функции $y=\frac{x^2-6x+8}{x-2}=x-4$ - все числа, кроме x-2=0; x=2, на графике выколота точка (2;-2)

Чтобы определить различие между графиками функций $y = x - 4$ и $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$, необходимо проанализировать каждую из них.

Первая функция $y = x - 4$ — это линейная функция. Её область определения — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$). Графиком данной функции является прямая линия.

Вторая функция $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции исключает значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, область определения второй функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для второй функции. Для этого разложим на множители числитель $x^2 - 6x + 8$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 8$. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
Следовательно, числитель можно представить в виде произведения $(x - 2)(x - 4)$.

Подставим полученное разложение в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 2}$
Поскольку из области определения мы знаем, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 2)$:
$y = x - 4$

Вывод: функция $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ совпадает с функцией $y = x - 4$ на всей области определения, то есть для всех $x$, кроме $x = 2$.
Это означает, что их графики практически идентичны. Оба графика являются прямой линией $y = x - 4$. Однако у графика второй функции есть точка разрыва (так называемая "выколотая" точка) при $x = 2$.
Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса этой точки $x = 2$. Для нахождения ординаты подставим это значение в упрощенное уравнение $y = x - 4$:
$y = 2 - 4 = -2$
Таким образом, график функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ — это прямая $y = x - 4$ с выколотой точкой $(2; -2)$.

Ответ: Графиком функции $y = x - 4$ является прямая. Графиком функции $y = \frac{x^2 - 6x + 8}{x - 2}$ является та же самая прямая, но с одной удаленной (выколотой) точкой, имеющей координаты $(2; -2)$.