Номер 621, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 621, страница 144.

621. Можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} -3y^2+3y+11=0 \\ D=3^2-4·(-3)·11=9+132=141>0 \end{gathered}$$

Ответ: можно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 4b^2-9b+7=0 \\ D={(-9)}^2-4·4·7=81-112=-31<0 \end{gathered}$$

Ответ: нельзя

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} x^2-7x+11=0 \\ D={(-7)}^2-4·1·11=49-44=5>0 \end{gathered}$$

Ответ: можно

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 3y^2-12y+12=0 \\ D={(-12)}^2-4·3·12=144-144=0 \end{gathered}$$

Ответ: можно

Чтобы определить, можно ли представить квадратный трёхчлен в виде произведения многочленов первой степени, необходимо вычислить его дискриминант. Квадратный трёхчлен вида $ax^2+bx+c$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет действительные корни. Это происходит, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным ($D \ge 0$).

а) $-3y^2 + 3y + 11$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = -3$, $b = 3$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 11 = 9 + 132 = 141$.

Так как $D = 141 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: можно.

б) $4b^2 - 9b + 7$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = 4$, $b = -9$, $c = 7$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7 = 81 - 112 = -31$.

Так как $D = -31 < 0$, уравнение не имеет действительных корней, следовательно, трёхчлен нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени с действительными коэффициентами.

Ответ: нельзя.

в) $x^2 - 7x + 11$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -7$, $c = 11$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 49 - 44 = 5$.

Так как $D = 5 > 0$, уравнение имеет два действительных корня, следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени.

Ответ: можно.

г) $3y^2 - 12y + 12$

Для данного трёхчлена коэффициенты: $a = 3$, $b = -12$, $c = 12$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0$.

Так как $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих), следовательно, трёхчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени. В данном случае он является полным квадратом, умноженным на коэффициент: $3(y^2 - 4y + 4) = 3(y - 2)^2$.

Ответ: можно.