Номер 626, страница 145 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 626, страница 145.

626. Найдите значение дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}6-7x+x^2=0 \\ D={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25 \\ x=\frac{7\pm \sqrt{25}}{2}; x=\frac{7\pm 5}{2} \\ x=6 \text{или} x=1 \\ {x}^2-7x+6=(x-6)(x-1) \\ \frac{36-x^2}{6-7x+x^2}=\frac{(6-x)(6+x)}{(x-6)(x-1)}=\frac{-(x-6)(x+6)}{(x-6)(x-1)}= \\ =-\frac{x+6}{x-1}=\frac{x+6}{1-x} \end{gathered}$$

при x=-9; $\frac{-9+6}{1-(-9)}=\frac{-3}{10}=-0,3$

при x=-99; $\frac{-99+6}{1-(-99)}=\frac{-93}{100}=-0,93$

при x=-999; $\frac{-999+6}{1-(-999)}=\frac{-993}{1000}=-0,993$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}4x^2+8x-32=0 \\ D=8^2-4\cdot 4\cdot (-32)=64+512=576 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{576}}{8}; x=\frac{-8\pm 24}{8} \\ x=2; x=-4 \\ 4x^2+8x-32=4(x-2)(x+4) \\ \frac{4x^2+8x-32}{4x^2-16}=\frac{4(x-2)(x+4)}{(2x-4)(2x+4)}= \\ =\frac{4(x-2)(x+4)}{2(x-2)·2(x+2)}=\frac{x+4}{x+2} \end{gathered}$$

при x=-1; $\frac{-1+4}{-1+2}=3$

при x=5; $\frac{5+4}{5+2}=\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}$

при x=10; $\frac{10+4}{10+2}=\frac{14}{12}=\frac{7}{6}=1\frac{1}{6}$

а)

Для того чтобы найти значение дроби $\frac{36 - x^2}{6 - 7x + x^2}$, сначала упростим ее. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель представляет собой разность квадратов:
$36 - x^2 = 6^2 - x^2 = (6 - x)(6 + x)$.

Знаменатель является квадратным трехчленом $x^2 - 7x + 6$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Следовательно, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Таким образом, знаменатель раскладывается на множители: $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.

Теперь подставим разложения в исходную дробь:
$\frac{(6 - x)(6 + x)}{(x - 1)(x - 6)}$

Заметим, что $(6 - x) = -(x - 6)$. Перепишем дробь и сократим ее (при условии, что $x \neq 6$):
$\frac{-(x - 6)(x + 6)}{(x - 1)(x - 6)} = -\frac{x + 6}{x - 1} = \frac{x + 6}{1 - x}$

Теперь вычислим значение упрощенного выражения для каждого заданного $x$:

При $x = -9$:
$\frac{-9 + 6}{1 - (-9)} = \frac{-3}{1 + 9} = \frac{-3}{10} = -0.3$

При $x = -99$:
$\frac{-99 + 6}{1 - (-99)} = \frac{-93}{1 + 99} = \frac{-93}{100} = -0.93$

При $x = -999$:
$\frac{-999 + 6}{1 - (-999)} = \frac{-993}{1 + 999} = \frac{-993}{1000} = -0.993$

Ответ: -0.3; -0.93; -0.993.

б)

Упростим дробь $\frac{4x^2 + 8x - 32}{4x^2 - 16}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель 4: $4(x^2 + 2x - 8)$. Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 2x - 8$. Корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$ равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Значит, $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.
Числитель равен: $4(x - 2)(x + 4)$.

В знаменателе также вынесем за скобки 4 и используем формулу разности квадратов:
$4x^2 - 16 = 4(x^2 - 4) = 4(x - 2)(x + 2)$.

Подставим разложения в дробь и сократим ее (при условии, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$):
$\frac{4(x - 2)(x + 4)}{4(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 4}{x + 2}$

Теперь вычислим значение упрощенного выражения для каждого заданного $x$:

При $x = -1$:
$\frac{-1 + 4}{-1 + 2} = \frac{3}{1} = 3$

При $x = 5$:
$\frac{5 + 4}{5 + 2} = \frac{9}{7}$

При $x = 10$:
$\frac{10 + 4}{10 + 2} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}$

Ответ: 3; $\frac{9}{7}$; $\frac{7}{6}$.