Номер 624, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 624, страница 144.

624. Сократите дробь:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a)}}\mathbf{ }\frac{4x+4}{3x^2+2x-1}=\frac{4\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}=\frac{4}{3x-1} \\ 3x^2+2x-1=0 \\ D=4-4\cdot 3\cdot \left(-1\right)=4+12=16 \\ x=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{6}; x=\frac{-2\pm 4}{6} \\ x=\frac{1}{3}\text{ или }x=-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{2a^2-5a-3}{3a-9}=\frac{2\left(a+\frac{1}{2}\right)\left(a-3\right)}{3\left(a-3\right)}=\frac{2a+1}{3} \\ 2a^2-5a-3=0 \\ D={\left(-5\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-3\right)=25+24=49 \\ a=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}; a=\frac{5\pm 7}{4} \\ a=3\text{ или }a=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}}\mathbf{ }{b}^2-b-12=0 \\ D={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-12\right)=1+48=49 \\ b=\frac{1\pm \sqrt{49}}{2}; b=\frac{1\pm 7}{2} \\ b=4\text{ или }b=-3 \\ \frac{16-b^2}{b^2-b-12}=\frac{\left(4-b\right)\left(4+b\right)}{\left(b-4\right)\left(b+3\right)}= \\ =\frac{-\left(b-4\right)\left(b+4\right)}{\left(b-4\right)\left(b+3\right)}=-\frac{b+4}{b+3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}2y^2+7y+3=0 \\ D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25 \\ y=\frac{-7\pm \sqrt{25}}{4}; y=\frac{-7\pm 5}{4} \\ y=-\frac{1}{2}\text{ или }y=-3 \\ \frac{2y^2+7y+3}{y^2-9}=\frac{2\left(y+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\left(y+3\right)}{\left(y-3\right)\left(y+3\right)}=\frac{2y+1}{y-3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}}\mathbf{ }{p}^2-11p+10=0 \\ D={\left(-11\right)}^2-4\cdot 1\cdot 10=121-40=81 \\ p=\frac{11\pm \sqrt{81}}{2}; p=\frac{11\pm 9}{2} \\ p=10\text{ или }p=1 \\ {p}^2-11p+10=\left(p-10\right)\left(p-1\right) \\ 20+8p-p^2=0 \\ -p^2+8p+20=0 \\ D=8^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 20=64+80=144 \\ p=\frac{-8\pm \sqrt{144}}{-2}; p=\frac{-8\pm 12}{-2} \\ p=-2\text{ или }p=10 \\ 20+8p-p^2=-\left(p+2\right)\left(p-10\right) \\ \frac{p^2-11p+10}{20+8p-p^2}=\frac{\left(p-10\right)\left(p-1\right)}{-\left(p+2\right)\left(p-10\right)}=-\frac{p-1}{p+2}=\frac{1-p}{p+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{e) }}3x^2+16x-12=0 \\ D=16^2-4\cdot 3\cdot \left(-12\right)=256+144=400 \\ x=\frac{-16\pm \sqrt{400}}{6}; x=\frac{-16\pm 20}{6} \\ x=\frac{2}{3}\text{ или }x=-6 \\ 3x^2+16x-12=3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+6\right) \\ 10-13x-3x^2=0 \\ D={\left(-13\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 10=169+120=289 \\ x=\frac{13\pm \sqrt{289}}{-6}; x=\frac{13\pm 17}{-6} \\ x=-5\text{ или }x=\frac{2}{3} \\ 10-13x-3x^2=-3\left(x-\frac{2}{3}\right)(x+5) \\ \frac{3x^2+16x-12}{10-13x-3x^2}=\frac{3\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)(x+6)}{-3\left(x-{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)(x+5)}=-\frac{x+6}{x+5} \end{gathered}$$

а)

Чтобы сократить дробь $\frac{4x + 4}{3x^2 + 2x - 1}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе вынесем общий множитель за скобки: $4x + 4 = 4(x + 1)$.

Знаменатель $3x^2 + 2x - 1$ — это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Разложение на множители: $3x^2 + 2x - 1 = 3(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - (-1))(x - \frac{1}{3}) = 3(x+1)(x - \frac{1}{3}) = (x+1)(3x-1)$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь: $\frac{4(x + 1)}{(x + 1)(3x - 1)}$.

Сокращаем общий множитель $(x+1)$: $\frac{4}{3x - 1}$.

Ответ: $\frac{4}{3x - 1}$.

б)

Чтобы сократить дробь $\frac{2a^2 - 5a - 3}{3a - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $2a^2 - 5a - 3$, найдя корни уравнения $2a^2 - 5a - 3 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.
Корни: $a_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}$; $a_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.
Разложение: $2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a - 3)(2a + 1)$.

Разложим знаменатель: $3a - 9 = 3(a - 3)$.

Подставим в дробь: $\frac{(a - 3)(2a + 1)}{3(a - 3)}$.

Сокращаем общий множитель $(a-3)$: $\frac{2a + 1}{3}$.

Ответ: $\frac{2a + 1}{3}$.

в)

Чтобы сократить дробь $\frac{16 - b^2}{b^2 - b - 12}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель раскладывается по формуле разности квадратов: $16 - b^2 = (4 - b)(4 + b)$.

Для разложения знаменателя $b^2 - b - 12$ решим уравнение $b^2 - b - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение $-12$. Корни: $b_1 = 4$, $b_2 = -3$.
Разложение: $b^2 - b - 12 = (b - 4)(b + 3)$.

Подставим в дробь: $\frac{(4 - b)(4 + b)}{(b - 4)(b + 3)}$.

Так как $4 - b = -(b - 4)$, то дробь можно переписать в виде $\frac{-(b - 4)(b + 4)}{(b - 4)(b + 3)}$.

Сокращаем общий множитель $(b-4)$: $\frac{-(b + 4)}{b + 3} = -\frac{b + 4}{b + 3}$.

Ответ: $-\frac{b + 4}{b + 3}$.

г)

Чтобы сократить дробь $\frac{2y^2 + 7y + 3}{y^2 - 9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $2y^2 + 7y + 3$, найдя корни уравнения $2y^2 + 7y + 3 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$.
Корни: $y_1 = \frac{-7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$; $y_2 = \frac{-7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Разложение: $2(y - (-3))(y - (-\frac{1}{2})) = 2(y + 3)(y + \frac{1}{2}) = (y + 3)(2y + 1)$.

Знаменатель раскладывается по формуле разности квадратов: $y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$.

Подставим в дробь: $\frac{(y + 3)(2y + 1)}{(y - 3)(y + 3)}$.

Сокращаем общий множитель $(y+3)$: $\frac{2y + 1}{y - 3}$.

Ответ: $\frac{2y + 1}{y - 3}$.

д)

Чтобы сократить дробь $\frac{p^2 - 11p + 10}{20 + 8p - p^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $p^2 - 11p + 10$. По теореме Виета, корни уравнения $p^2 - 11p + 10 = 0$ равны $1$ и $10$.
Разложение: $(p - 1)(p - 10)$.

Разложим знаменатель $20 + 8p - p^2 = -(p^2 - 8p - 20)$. Решим уравнение $p^2 - 8p - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни равны $10$ и $-2$.
Разложение: $-(p - 10)(p - (-2)) = -(p - 10)(p + 2)$.

Подставим в дробь: $\frac{(p - 1)(p - 10)}{-(p - 10)(p + 2)}$.

Сокращаем общий множитель $(p-10)$: $\frac{p - 1}{-(p + 2)} = -\frac{p - 1}{p + 2}$.

Ответ: $-\frac{p - 1}{p + 2}$.

е)

Чтобы сократить дробь $\frac{3x^2 + 16x - 12}{10 - 13x - 3x^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Разложим числитель $3x^2 + 16x - 12$, решив уравнение $3x^2 + 16x - 12 = 0$.
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400$.
Корни: $x_1 = \frac{-16 - \sqrt{400}}{6} = -6$; $x_2 = \frac{-16 + \sqrt{400}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение: $3(x - (-6))(x - \frac{2}{3}) = (x + 6)(3x - 2)$.

Разложим знаменатель $10 - 13x - 3x^2 = -(3x^2 + 13x - 10)$. Решим уравнение $3x^2 + 13x - 10 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$.
Корни: $x_3 = \frac{-13 - \sqrt{289}}{6} = -5$; $x_4 = \frac{-13 + \sqrt{289}}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение: $-(3(x - (-5))(x - \frac{2}{3})) = -(x + 5)(3x - 2)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x + 6)(3x - 2)}{-(x + 5)(3x - 2)}$.

Сокращаем общий множитель $(3x-2)$: $\frac{x + 6}{-(x + 5)} = -\frac{x + 6}{x + 5}$.

Ответ: $-\frac{x + 6}{x + 5}$.