Номер 623, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 623, страница 144.

623. Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида n, 2n, 3n (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

$$\begin{gathered} 2x^2+6x+4=0 \\ D=6^2-4·2·4=36-32=4 \\ x=\frac{-6\pm \sqrt{4}}{4}; x=\frac{-6\pm 2}{4} \end{gathered}$$

x=-1 или x=-2

$2x^{2}2x^2$+6x+4=2(x+1)(x+2)

В общем виде:

$n{x}^2+3nx+2n=0nx^2+3nx+2n=0$

$D=(3n{)}^2-4\cdot n\cdot 2n=9n^2-8n^2=n^{2}D=(3n)^2-4\backslash cdot\; n\backslash cdot2n\; =\; 9n^2-8n^2=n^2$

$x=\frac{-3n\pm n}{2n}x=\backslash frac\{-3n\backslash pm\; n\}\{2n\}$

x₁=-1, x₂=-2

$n{x}^{2}nx^2$+3nx+2n=n(x+1)(x+2)

Пусть искомый квадратный трёхчлен имеет вид $ax^2 + bx + c$, где коэффициенты $a, b, c$ являются натуральными числами вида $n, 2n, 3n$, расположенными в произвольном порядке, и $n \in \mathbb{N}$.

Для того чтобы квадратный трёхчлен имел действительные корни, его дискриминант $D = b^2 - 4ac$ должен быть неотрицательным, то есть $D \ge 0$. Проверим все $3! = 6$ возможных перестановок коэффициентов, чтобы найти ту, которая удовлетворяет этому условию.

1. $a=n, b=2n, c=3n$. Дискриминант $D = (2n)^2 - 4(n)(3n) = 4n^2 - 12n^2 = -8n^2$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n^2 > 0$, следовательно, $D < 0$. Корней нет.

2. $a=n, b=3n, c=2n$. Дискриминант $D = (3n)^2 - 4(n)(2n) = 9n^2 - 8n^2 = n^2$. Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $n^2 > 0$, следовательно, $D > 0$. Корни существуют.

3. $a=2n, b=n, c=3n$. Дискриминант $D = n^2 - 4(2n)(3n) = n^2 - 24n^2 = -23n^2 < 0$. Корней нет.

4. $a=2n, b=3n, c=n$. Дискриминант $D = (3n)^2 - 4(2n)(n) = 9n^2 - 8n^2 = n^2 > 0$. Корни существуют.

5. $a=3n, b=n, c=2n$. Дискриминант $D = n^2 - 4(3n)(2n) = n^2 - 24n^2 = -23n^2 < 0$. Корней нет.

6. $a=3n, b=2n, c=n$. Дискриминант $D = (2n)^2 - 4(3n)(n) = 4n^2 - 12n^2 = -8n^2 < 0$. Корней нет.

Мы установили, что существуют два варианта расстановки коэффициентов (пункты 2 и 4), при которых дискриминант положителен. Это доказывает, что требуемый квадратный трёхчлен существует.

Теперь разложим один из таких трёхчленов на множители. Возьмём случай, где $a=n, b=3n, c=2n$. Трёхчлен имеет вид $nx^2 + 3nx + 2n$.

Найдём его корни, решив уравнение $nx^2 + 3nx + 2n = 0$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $n$:

$x^2 + 3x + 2 = 0$

Корни этого приведённого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета. Сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Разложение квадратного трёхчлена на множители выполняется по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$. Для нашего трёхчлена $a=n, x_1=-1, x_2=-2$.

$nx^2 + 3nx + 2n = n(x - (-1))(x - (-2)) = n(x+1)(x+2)$.

Ответ: Такой трёхчлен существует, например, $nx^2 + 3nx + 2n$. Его разложение на множители: $n(x+1)(x+2)$.