Номер 617, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 617, страница 144.

617. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3x^2-24x+21=0 \\ D={(-24)}^2-4·3·21=576-252=324 \\ x=\frac{24\pm \sqrt{324}}{6}, x=\frac{24\pm 18}{6} \\ x=7 \text{или} x=1 \\ 3x^2-24x+21=3(x-1)(x-7) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 5z^2+10z-15=0 \\ D={10}^2-4·5·(-15)=100+300=400 \\ z=\frac{-10\pm \sqrt{400}}{10}, z=\frac{-10\pm 20}{10} \\ z=1 \text{или} z=-3 \\ 5z^2+10z-15=5(z-1)(z+3) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} \frac{1}{6}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=0 \\ D={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-4·\frac{1}{6}·\frac{1}{3}=\frac{1}{4}-\frac{4}{18}= \\ =\frac{1}{4}-\frac{2}{9}=\frac{9}{36}-\frac{8}{36}=\frac{1}{36} \\ x=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{36}}}}{2·{\displaystyle \frac{1}{6}}}; x=\frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}} \\ \begin{array}{lcl}x=\frac{-{\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}& \text{или}& x=\frac{-{\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ x=-1& & x=-2\end{array} \\ \frac{1}{6}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}(x+1)(x+2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} x^2-12x+20=0 \\ D={(-12)}^2-4·1·20=144-80=64 \\ x=\frac{12\pm \sqrt{64}}{2}; x=\frac{12\pm 8}{2} \\ x=10 \text{или} x=2 \\ {x}^2-12x+20=(x-10)(x-2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{д)}} y^2+16y-15=0 \\ D={16}^2-4·(-1)·(-15)=256-60=196 \\ y=\frac{-16\pm \sqrt{196}}{-2}; y=\frac{-16\pm 14}{-2} \\ y=1 \text{или} y=15 \\ -y^2+16y-15=-(y-1)(y-15)=(1-y)(y-15) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{е)}} -t^2-8t+9=0 \\ D={(-8)}^2-4·(-1)·9=64+36=100 \\ t=\frac{8\pm \sqrt{100}}{-2}; t=\frac{8\pm 10}{-2} \\ t=-9 \text{или} t=1 \\ -t^2-8t+9=-(t+9)(t-1)=(t+9)(1-t) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{ж)}} 2x^2-5x+3=0 \\ D={(-5)}^2-4·2·3=25-24=1 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{1}}{4}; x=\frac{5\pm 1}{4} \\ x=1,5 \text{или} x=1 \\ 2x^2-5x+3=2(x-1,5)(x-1)=(2x-3)(x-1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{з)}} 5y^2+2y-3=0 \\ D=2^2-4·5·(-3)=4+60=64 \\ y=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{10}; y=\frac{-2\pm 8}{10} \\ y=0,6 \text{или} y=-1 \\ 5y^2+2y-3=5(y-0,6)(y+1)=(5y-3)(y+1) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{и)}} -2n^2+5n+7=0 \\ D=5^2-4·(-2)·7=25+56=81 \\ n=\frac{-5\pm \sqrt{81}}{-4}; n=\frac{-5\pm 9}{-4} \\ n=-1 \text{или} n=\frac{14}{4}; n=\frac{7}{2} \\ -2n^2+5n+7=-2(n-\frac{7}{2})(n+1)=(7-2n)(n+1) \end{gathered}$$

Для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

а) $3x^2 - 24x + 21$

Сначала вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(x^2 - 8x + 7)$.

Теперь разложим на множители трёхчлен $x^2 - 8x + 7$. Для этого решим уравнение $x^2 - 8x + 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Тогда $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Возвращая множитель 3, получаем: $3(x-1)(x-7)$.

Ответ: $3(x-1)(x-7)$.

б) $5z^2 + 10z - 15$

Вынесем общий множитель 5 за скобки: $5(z^2 + 2z - 3)$.

Разложим на множители $z^2 + 2z - 3$, решив уравнение $z^2 + 2z - 3 = 0$.

По теореме Виета: $z_1 + z_2 = -2$ и $z_1 \cdot z_2 = -3$. Корни: $z_1 = 1$ и $z_2 = -3$.

Следовательно, $z^2 + 2z - 3 = (z-1)(z-(-3)) = (z-1)(z+3)$.

Окончательный результат: $5(z-1)(z+3)$.

Ответ: $5(z-1)(z+3)$.

в) $\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$

Вынесем коэффициент $\frac{1}{6}$ за скобки: $\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$.

Разложим на множители $x^2 + 3x + 2$, решив уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -3$ и $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -2$.

Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x-(-1))(x-(-2)) = (x+1)(x+2)$.

Окончательный результат: $\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$.

Ответ: $\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$.

г) $x^2 - 12x + 20$

Решим уравнение $x^2 - 12x + 20 = 0$. Коэффициент $a=1$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 12$ и $x_1 \cdot x_2 = 20$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 10$.

Разложение имеет вид $(x-x_1)(x-x_2) = (x-2)(x-10)$.

Ответ: $(x-2)(x-10)$.

д) $-y^2 + 16y - 15$

Вынесем -1 за скобки: $-(y^2 - 16y + 15)$.

Решим уравнение $y^2 - 16y + 15 = 0$.

По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 16$ и $y_1 \cdot y_2 = 15$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = 15$.

Разложение: $-(y-1)(y-15)$.

Ответ: $-(y-1)(y-15)$.

е) $-t^2 - 8t + 9$

Вынесем -1 за скобки: $-(t^2 + 8t - 9)$.

Решим уравнение $t^2 + 8t - 9 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = -8$ и $t_1 \cdot t_2 = -9$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -9$.

Разложение: $-(t-1)(t-(-9)) = -(t-1)(t+9)$.

Ответ: $-(t-1)(t+9)$.

ж) $2x^2 - 5x + 3$

Решим уравнение $2x^2 - 5x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$ и $x_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Подставляем в формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$: $2(x-1)(x-\frac{3}{2})$.

Умножим второй множитель на 2: $(x-1)(2x-3)$.

Ответ: $(x-1)(2x-3)$.

з) $5y^2 + 2y - 3$

Решим уравнение $5y^2 + 2y - 3 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения: $y_1 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$ и $y_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Подставляем в формулу $a(y-y_1)(y-y_2)$: $5(y-(-1))(y-\frac{3}{5}) = 5(y+1)(y-\frac{3}{5})$.

Умножим второй множитель на 5: $(y+1)(5y-3)$.

Ответ: $(y+1)(5y-3)$.

и) $-2n^2 + 5n + 7$

Решим уравнение $-2n^2 + 5n + 7 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 7 = 25 + 56 = 81$.

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-14}{-4} = \frac{7}{2}$ и $n_2 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$.

Подставляем в формулу $a(n-n_1)(n-n_2)$: $-2(n-\frac{7}{2})(n-(-1)) = -2(n-\frac{7}{2})(n+1)$.

Умножим первый множитель на -2: $(-2n + 7)(n+1) = (7-2n)(n+1)$.

Ответ: $(7-2n)(n+1)$.