Номер 615, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 615, страница 141.

615. Решите уравнение:

а) 3 (x + 4)² = 10x + 32;

б) 31x + 77 = 15 (x + 1)².

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 3{(x+4)}^2=10x+32 \\ 3(x^2+8x+16)=10x+32 \\ 3x^2+24x+48-10x-32=0 \\ 3x^2+14x+16=0 \\ D={14}^2-4·3·16=196-192=4 \\ x=\frac{-14\pm \sqrt{4}}{6}; x=\frac{-14\pm 2}{6} \\ x=-2 \text{или} x=-\frac{16}{6}; x=-\frac{8}{3}; x=-2\frac{2}{3} \\ \text{Ответ:} -2; -2\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 31x+77=15{(x+1)}^2 \\ 31x+77=15(x^2+2x+1) \\ 31x+77=15x^2+30x+15 \\ 15x^2+30x+15-31x-77=0 \\ 15x^2-x-62=0 \\ D={(-1)}^2-4·15·(-62)=1+3720=3721 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{3721}}{30}, x=\frac{1\pm 61}{30} \\ x=\frac{62}{30} \text{или} x=-2 \\ x=\frac{31}{15} \\ x=2\frac{1}{15} \\ \text{Ответ:} -2; 2\frac{1}{15} \end{gathered}$$

а) $3(x + 4)^2 = 10x + 32$

Для начала раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$3(x^2 + 8x + 16) = 10x + 32$

Раскроем скобки, умножив каждый член на 3:

$3x^2 + 24x + 48 = 10x + 32$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 + 24x - 10x + 48 - 32 = 0$

$3x^2 + 14x + 16 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$

Ответ: $-2; -\frac{8}{3}$.

б) $31x + 77 = 15(x + 1)^2$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения по формуле квадрата суммы:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$31x + 77 = 15(x^2 + 2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части:

$31x + 77 = 15x^2 + 30x + 15$

Перенесем все члены в одну часть (в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным), чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$0 = 15x^2 + 30x - 31x + 15 - 77$

$15x^2 - x - 62 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-62) = 1 + 3720 = 3721$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{3721} = 61$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{3721}}{2 \cdot 15} = \frac{1 + 61}{30} = \frac{62}{30} = \frac{31}{15}$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{3721}}{2 \cdot 15} = \frac{1 - 61}{30} = \frac{-60}{30} = -2$

Ответ: $-2; \frac{31}{15}$.