Номер 618, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

25. Разложение квадратного трёхчлена на множители. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 618, страница 144.

618. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 2x^2-2x+\frac{1}{2}=0 \\ D={(-2)}^2-4·2·\frac{1}{2}=4-4=0 \\ x=\frac{2}{4}; x=\frac{1}{2} \\ 2x^2-2x+\frac{1}{2}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=2{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} -9x^2+12x-4=0 \\ D={12}^2-4·(-9)·(-4)=144-144=0 \\ x=\frac{-12}{-18}; x=\frac{2}{3} \\ -9x^2+12x-4=-9\left(x-\frac{2}{3}\right)= \\ =-{\left(3\left(x-\frac{2}{3}\right)\right)}^2=-{(3x-2)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 16a^2+24a+9=0 \\ D={24}^2-4·16·9=576-576=0 \\ a=\frac{-24\pm \sqrt{0}}{32}; a=\frac{-24}{32}; a=-\frac{3}{4} \\ 16a^2+24a+9=16{\left(a+\frac{3}{4}\right)}^2= \\ ={\left(4\left(a+\frac{3}{4}\right)\right)}^2={(4a+3)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 0,25m^2-2m+4=0 \\ D={(-2)}^2-4·0,25·4=4-4=0 \\ m=\frac{2}{0,5}; m=4 \\ 0,25{(m-4)}^2=(0,5{(m-4))}^2={(0,5m-2)}^2 \end{gathered}$$

Для разложения данных квадратных трёхчленов на множители воспользуемся формулами сокращённого умножения: квадратом суммы $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$ и квадратом разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.

а) Рассмотрим трёхчлен $2x^2 - 2x + \frac{1}{2}$.

Чтобы применить формулу сокращённого умножения, вынесем общий числовой множитель $2$ за скобки:

$2x^2 - 2x + \frac{1}{2} = 2(x^2 - x + \frac{1}{4})$

Выражение в скобках $x^2 - x + \frac{1}{4}$ является полным квадратом. Проверим это, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

В нашем случае $A^2=x^2$, значит $A=x$. $B^2=\frac{1}{4}$, значит $B=\frac{1}{2}$.

Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = x$. Средний член в скобках равен $-x$, что соответствует $-2AB$.

Следовательно, $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2$.

Таким образом, исходный трёхчлен раскладывается на множители следующим образом:

$2(x - \frac{1}{2})^2$.

Ответ: $2(x - \frac{1}{2})^2$.

б) Рассмотрим трёхчлен $-9x^2 + 12x - 4$.

Вынесем знак минус за скобки, чтобы старший коэффициент стал положительным:

$-9x^2 + 12x - 4 = -(9x^2 - 12x + 4)$

Выражение в скобках $9x^2 - 12x + 4$ является полным квадратом. Проверим это по формуле квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

Здесь $A^2 = 9x^2$, что означает $A = 3x$. $B^2 = 4$, что означает $B=2$.

Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot (3x) \cdot 2 = 12x$. Средний член в скобках равен $-12x$, что соответствует $-2AB$.

Значит, $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.

Итак, получаем разложение:

$-9x^2 + 12x - 4 = -(3x - 2)^2$.

Ответ: $-(3x - 2)^2$.

в) Рассмотрим трёхчлен $16a^2 + 24a + 9$.

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата суммы $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$.

Определим $A$ и $B$. Из $A^2 = 16a^2$ следует $A = 4a$. Из $B^2 = 9$ следует $B = 3$.

Проверим, равно ли удвоенное произведение $2AB$ среднему члену трёхчлена $24a$.

$2AB = 2 \cdot (4a) \cdot 3 = 24a$.

Поскольку проверка прошла успешно, мы можем применить формулу квадрата суммы:

$16a^2 + 24a + 9 = (4a+3)^2$.

Ответ: $(4a + 3)^2$.

г) Рассмотрим трёхчлен $0.25m^2 - 2m + 4$.

Этот трёхчлен похож на формулу квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

Определим $A$ и $B$. Из $A^2 = 0.25m^2$ следует $A = 0.5m$. Из $B^2 = 4$ следует $B = 2$.

Проверим, равно ли удвоенное произведение $2AB$ по модулю среднему члену трёхчлена $2m$.

$2AB = 2 \cdot (0.5m) \cdot 2 = 2m$.

Так как средний член трёхчлена $-2m$, что соответствует $-2AB$, мы можем применить формулу квадрата разности:

$0.25m^2 - 2m + 4 = (0.5m - 2)^2$.

Ответ: $(0.5m - 2)^2$.