Номер 612, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

24. Квадратный трёхчлен и его корни. § 8. Квадратный трёхчлен. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 612, страница 140.

612. Дан квадратный трёхчлен 13x² + 2x + 4. Выясните, при каком значении x он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}{x}^2+2x+4=\frac{1}{3}(x^2+6x+12)= \\ =\frac{1}{3}(x^2+2·3x+3^2-3^2+12)= \\ =\frac{1}{3}({(x+3)}^2+3)={(x+3)}^2+1 \end{gathered}$$

При x=-3 трёхчлен принимает наименьшее значение ${(-3+3)}^2+1=1$

Ответ: при x=-3; значение равно 1

Данный квадратный трёхчлен $ \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4 $ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола.

Коэффициенты трёхчлена: $a = \frac{1}{3}$, $b = 2$, $c = 4$.

Поскольку старший коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, и в этой точке она принимает своё наименьшее значение. Точка минимума — это вершина параболы.

Для решения задачи найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

При каком значении x трёхчлен принимает наименьшее значение

Значение $x$, при котором достигается минимум, — это абсцисса вершины параболы $x_0$, которая вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подставляем значения коэффициентов $a = \frac{1}{3}$ и $b = 2$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{2}{\frac{2}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$.

Следовательно, трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = -3$.

Чему равно это значение трёхчлена

Наименьшее значение трёхчлена — это ордината вершины параболы $y_0$. Для её нахождения подставим найденное значение $x_0 = -3$ в исходное выражение:

$y_0 = \frac{1}{3}(-3)^2 + 2(-3) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + 4 = 3 - 6 + 4 = 1$.

Следовательно, наименьшее значение трёхчлена равно 1.

Ответ: трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = -3$, и это значение равно 1.