Страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

604. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} 5x^2-8x+3=0 \\ D={(-8)}^2-4·5·3=64-60=4>0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет два корня

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 9x^2+6x+1=0 \\ D=6^2-4·9·1=36-36=0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет один корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} -7x^2+6x-2=0 \\ D=6^2-4·(-7)·(-2)=36-56=-20<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} -x^2+5x-3=0 \\ D=5^2-4·(-1)·(-3)=25-12=13>0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет два корня

Для определения количества корней квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ необходимо вычислить его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Знак дискриминанта определяет количество корней:

• Если $D > 0$, трёхчлен имеет два различных корня.
• Если $D = 0$, трёхчлен имеет один корень (два совпадающих).
• Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней.

а) Для трёхчлена $5x^2 - 8x + 3$ коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -8$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 64 - 60 = 4$.
Поскольку $D > 0$, трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

б) Для трёхчлена $9x^2 + 6x + 1$ коэффициенты равны: $a = 9$, $b = 6$, $c = 1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0$.
Поскольку $D = 0$, трёхчлен имеет один корень.
Ответ: имеет один корень.

в) Для трёхчлена $-7x^2 + 6x - 2$ коэффициенты равны: $a = -7$, $b = 6$, $c = -2$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-2) = 36 - 56 = -20$.
Поскольку $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

г) Для трёхчлена $-x^2 + 5x - 3$ коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 5$, $c = -3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-3) = 25 - 12 = 13$.
Поскольку $D > 0$, трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

605. Имеет ли квадратный трёхчлен корни и если имеет, то сколько:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{а)}} -4x^2-4x+3=0 \\ D={(-4)}^2-4·(-4)·3=16+48=64>0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет два корня

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б)}} 4x^2-4x+3=0 \\ D={(-4)}^2-4·4·3=16-48=-32<0 \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в)}} 9x^2-12x+4=0 \\ D={(-12)}^2-4·9·4=144-144=0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет один корень

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г)}} 9x^2-12x-4=0 \\ D={(-12)}^2-4·9·(-4)=144+144=288>0 \end{gathered}$$

Ответ: имеет два корня

Чтобы определить, имеет ли квадратный трёхчлен корни и если да, то сколько, необходимо вычислить его дискриминант. Для квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ дискриминант ($D$) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, то трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, то трёхчлен имеет один действительный корень (или два совпадающих).
• Если $D < 0$, то трёхчлен не имеет действительных корней.

а) $-4x^2 - 4x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = -4$, $b = -4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot (-4) \cdot 3 = 16 + 48 = 64$.
Так как $D = 64 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

б) $4x^2 - 4x + 3$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = 4$, $b = -4$, $c = 3$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32$.
Так как $D = -32 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.
Ответ: не имеет корней.

в) $9x^2 - 12x + 4$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = 9$, $b = -12$, $c = 4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$.
Так как $D = 0$, квадратный трёхчлен имеет один корень.
Ответ: имеет один корень.

г) $9x^2 - 12x - 4$

В данном трёхчлене коэффициенты: $a = 9$, $b = -12$, $c = -4$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 144 + 144 = 288$.
Так как $D = 288 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.
Ответ: имеет два корня.

606. Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найдите корни этого трёхчлена.

$a{x}^2+bx+c$ - квадратный трёхчлен. Известно, что c=4a и a+b+c=0. Тогда

a+b+4a=0

5a+b=0

b=-5a

Получим

$$\begin{gathered} a{x}^2-5ax+4a=0 \\ a(x^2-5x+4)=0 \\ {x}^2-5x+4=0 \\ D={(-5)}^2-4·1·4=25-16=9 \\ x=\frac{5\pm \sqrt{9}}{2}; x=\frac{5\pm 3}{2} \end{gathered}$$

x=4 или x=1

Ответ: 1 и 4

Пусть дан квадратный трёхчлен в общем виде $ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ — его коэффициенты. Поскольку трёхчлен является квадратным, старший коэффициент $a \neq 0$.

Согласно первому условию задачи, сумма всех коэффициентов равна нулю. Это можно записать в виде уравнения: $a + b + c = 0$.

Существует свойство квадратных уравнений, которое гласит: если сумма коэффициентов $a+b+c$ равна нулю, то одним из корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ всегда является 1. Проверим это, подставив $x=1$ в левую часть уравнения: $a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c$. Так как по условию эта сумма равна 0, то $x_1 = 1$ действительно является одним из корней этого трёхчлена.

Второе условие задачи утверждает, что свободный член $c$ в 4 раза больше старшего коэффициента $a$. Математически это записывается как соотношение: $c = 4a$.

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, произведение корней $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Мы уже знаем, что $x_1 = 1$, и имеем соотношение $c = 4a$. Подставим эти известные значения в формулу теоремы Виета: $1 \cdot x_2 = \frac{4a}{a}$.

Так как $a \neq 0$, мы можем сократить дробь в правой части равенства: $x_2 = 4$.

Таким образом, мы нашли оба корня заданного квадратного трёхчлена.

Ответ: 1 и 4.

607. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2-6x-2=x^2-2·3x+3^2-3^2-2={(x-3)}^2-11$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}{x}^2+5x+20=x^2+2·2,5x+2,5^2-2,5^2+20= \\ ={(x+2,5)}^2-6,25+20={(x+2,5)}^2+13,75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}2x^2-4x+10=2(x^2-2x+5)= \\ =2(x^2-2·1·x+1^2-1^2+5)= \\ =2({(x-1)}^2-1+5)=2({(x-1)}^2+4)= \\ =2{(x-1)}^2+8 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{1}{2}{x}^2+x-6=\frac{1}{2}(x^2+2x-12)= \\ =\frac{1}{2}(x^2+2·1x+1^2-1^2-12)= \\ =\frac{1}{2}({(x+1)}^2-13)=\frac{1}{2}{(x+1)}^2-6,5 \end{gathered}$$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена $x^2 - 6x - 2$, мы используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2$ соответствует $a^2$, следовательно, $a=x$. Слагаемое $-6x$ соответствует $-2ab$. Подставив $a=x$, получаем $-2 \cdot x \cdot b = -6x$, откуда находим $b=3$.

Для получения полного квадрата $(x-3)^2$ нам нужен член $b^2 = 3^2 = 9$. Мы можем добавить и вычесть 9, не изменяя исходного выражения:

$x^2 - 6x - 2 = (x^2 - 6x + 9) - 9 - 2$

Теперь первые три слагаемых в скобках образуют полный квадрат $(x-3)^2$. Упростим оставшуюся часть:

$(x-3)^2 - (9 + 2) = (x-3)^2 - 11$

Ответ: $(x-3)^2 - 11$

б) Для трёхчлена $x^2 + 5x + 20$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2=x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $5x$ соответствует $2ab$, то есть $2 \cdot x \cdot b = 5x$. Отсюда $b = \frac{5}{2}$.

Для полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$. Добавим и вычтем это значение:

$x^2 + 5x + 20 = (x^2 + 5x + \frac{25}{4}) - \frac{25}{4} + 20$

Выражение в скобках теперь является полным квадратом $(x+\frac{5}{2})^2$. Выполним вычисления с оставшимися числами:

$(x + \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{80}{4} = (x + \frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

Ответ: $(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{55}{4}$

в) Рассмотрим трёхчлен $2x^2 - 4x + 10$. Поскольку коэффициент при $x^2$ не равен 1, сначала вынесем его за скобки из первых двух слагаемых:

$2x^2 - 4x + 10 = 2(x^2 - 2x) + 10$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках $x^2 - 2x$. По формуле квадрата разности, где $a=x$ и $-2ab = -2x$, получаем $b=1$. Нам нужно добавить и вычесть $b^2=1^2=1$ внутри скобок:

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 10$

Сгруппируем слагаемые, чтобы образовать квадрат разности:

$2((x^2 - 2x + 1) - 1) + 10 = 2((x-1)^2 - 1) + 10$

Теперь раскроем внешние скобки и упростим выражение:

$2(x-1)^2 - 2 \cdot 1 + 10 = 2(x-1)^2 + 8$

Ответ: $2(x-1)^2 + 8$

г) Для выражения $\frac{1}{2}x^2 + x - 6$ вынесем коэффициент $\frac{1}{2}$ за скобки из первых двух слагаемых:

$\frac{1}{2}x^2 + x - 6 = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) - 6$

Далее выделим полный квадрат в скобках $x^2 + 2x$. По формуле квадрата суммы, где $a=x$ и $2ab=2x$, получаем $b=1$. Добавим и вычтем $b^2=1^2=1$ внутри скобок:

$\frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) - 6$

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{1}{2}((x^2 + 2x + 1) - 1) - 6 = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) - 6$

Раскроем скобки и упростим:

$\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} \cdot 1 - 6 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} - \frac{12}{2} = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{13}{2}$

608. Выделите квадрат двучлена из квадратного трёхчлена:

a) $x^2-10x+10=x^2-2·5x+5^2-5^2+10={(x-5)}^2-15$

б) $$\begin{gathered} x^2+3x-1=x^2+2·1,5x+1,5^2-1,5^2-1= \\ ={(x+1,5)}^2-2,25-1={(x+1,5)}^2-3,25 \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} 3x^2+6x-3=3(x^2+2x-1)=3(x^2+2·1·x+ \\ +1^2-1^2-1)=3({(x+1)}^2-2)=3{(x+1)}^2-6 \end{gathered}$$

г) $\frac{1}{4}{x}^2-x+2=\frac{1}{4}(x^2-4x+8)=$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{4}(x^2-2·2x+2^2-2^2+8)=\frac{1}{4}({(x-2)}^2-4+8)= \\ =\frac{1}{4}({(x-2)}^2+4)=\frac{1}{4}{(x-2)}^2+1 \end{gathered}$$

а) Чтобы выделить квадрат двучлена из выражения $x^2 - 10x + 10$, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a^2 = x^2$, значит $a=x$. Слагаемое $-10x$ является удвоенным произведением первого члена на второй, то есть $-2ab = -10x$. Отсюда $-2 \cdot x \cdot b = -10x$, что дает нам $b=5$.

Для полного квадрата нам не хватает слагаемого $b^2 = 5^2 = 25$. Добавим и вычтем 25 из исходного выражения, чтобы не изменить его:

$x^2 - 10x + 10 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 10$

Теперь выражение в скобках представляет собой полный квадрат $(x-5)^2$. Вычислим оставшуюся часть:

$(x-5)^2 - 15$

Ответ: $(x-5)^2 - 15$.

б) Для выражения $x^2 + 3x - 1$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a^2 = x^2$, следовательно $a=x$. Удвоенное произведение $2ab = 3x$. Подставляя $a=x$, получаем $2 \cdot x \cdot b = 3x$, откуда $b = \frac{3}{2}$.

Чтобы получить полный квадрат, нам нужно слагаемое $b^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем это число:

$x^2 + 3x - 1 = (x^2 + 3x + \frac{9}{4}) - \frac{9}{4} - 1$

Выражение в скобках равно $(x+\frac{3}{2})^2$. Упростим оставшиеся числа:

$(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = (x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

Ответ: $(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$.

в) В выражении $3x^2 + 6x - 3$ коэффициент при $x^2$ не равен 1. Сначала вынесем его за скобки:

$3(x^2 + 2x - 1)$

Теперь выделим квадрат двучлена для выражения в скобках: $x^2 + 2x - 1$. Используем формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$, а $2ab = 2x$, значит $b=1$. Требуемое слагаемое $b^2 = 1^2 = 1$. Добавим и вычтем 1 внутри скобок:

$3((x^2 + 2x + 1) - 1 - 1)$

Сгруппируем полный квадрат и упростим:

$3((x+1)^2 - 2)$

Раскроем внешние скобки, умножив каждый член на 3:

$3(x+1)^2 - 6$

Ответ: $3(x+1)^2 - 6$.

г) В выражении $\frac{1}{4}x^2 - x + 2$ вынесем коэффициент $\frac{1}{4}$ за скобки:

$\frac{1}{4}(x^2 - 4x + 8)$

Теперь работаем с выражением в скобках: $x^2 - 4x + 8$. Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=x$, а $-2ab = -4x$, откуда $b=2$. Нам необходимо слагаемое $b^2 = 2^2 = 4$. Добавим и вычтем 4 внутри скобок:

$\frac{1}{4}((x^2 - 4x + 4) - 4 + 8)$

Сгруппируем полный квадрат и упростим числа:

$\frac{1}{4}((x-2)^2 + 4)$

Раскроем внешние скобки:

$\frac{1}{4}(x-2)^2 + \frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$

Ответ: $\frac{1}{4}(x-2)^2 + 1$.

609. (Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении x квадратный трёхчлен:

а) x² – 6x + 10 принимает положительное значение;

б) 5x² – 10x + 5 принимает неотрицательное значение;

в) –x² + 20x – 100 принимает неположительное значение;

г) –2x² + 16x – 33 принимает отрицательное значение;

д) x² – 0,32x + 0,0256 принимает неотрицательное значение;

е) 4x² + 0,8x + 2 принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.

2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

a) $$\begin{gathered} x^2-6x+10=x^2-2·3x+3^2-3^2+10= \\ ={(x-3)}^2-9+10={(x-3)}^2+1>0 \end{gathered}$$

б) $5x^2-10x+5=5(x^2-2x+1)=5{(x-1)}^2\ge 0$

в) $$\begin{gathered} -x^2+20x-100=-(x^2-20x+100)= \\ =-(x^2-2·10x+{10}^2)=-{(x-10)}^2\le 0 \end{gathered}$$

г) $-2x^2+16x-33=-2(x^2-8x+\frac{33}{2})=$
$$\begin{gathered} =-2(x^2-2·4·x+4^2-4^2+\frac{33}{2})= \\ =-2({(x-4)}^2-16+\frac{33}{2})=-2({(x-4)}^2+\frac{1}{2})= \\ =-2{(x-4)}^2-1=-(2{(x-4)}^2+1)<0 \end{gathered}$$

д) $$\begin{gathered} x^2-0,32x+0,0256=x^2-2·0,16x+0,{16}^2= \\ ={(x-0,16)}^2\ge 0 \end{gathered}$$

е) $4x^2+0,8x+2=4(x^2+\frac{1}{5}x+\frac{1}{2})=$
$$\begin{gathered} =4\left(x^2+2·\frac{1}{10}·1x+{\left(\frac{1}{10}\right)}^2-{\left(\frac{1}{10}\right)}^2+\frac{1}{2}\right)= \\ =4({(x+0,1)}^2+0,49)=4{(x+0,1)}^2+1,96>0 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что квадратный трёхчлен $x^2 - 6x + 10$ принимает положительное значение при любом $x$, выделим в нём полный квадрат. Для этого представим $-6x$ как $-2 \cdot x \cdot 3$. Тогда для полного квадрата $(x-3)^2$ нам понадобится слагаемое $3^2=9$.

Выполним преобразование:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 10 = (x - 3)^2 + 1$.

Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(x - 3)^2 + 1$ достигается при $(x-3)^2 = 0$ и равно $0 + 1 = 1$.

Поскольку наименьшее значение трёхчлена равно 1 (что является положительным числом), то выражение $x^2 - 6x + 10$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что трёхчлен $5x^2 - 10x + 5$ принимает неотрицательное значение, вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5x^2 - 10x + 5 = 5(x^2 - 2x + 1)$.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$.

Таким образом, $5x^2 - 10x + 5 = 5(x - 1)^2$.

Так как $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$, а множитель 5 положителен, то их произведение $5(x - 1)^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $5(x - 1)^2 \ge 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

в) Чтобы доказать, что трёхчлен $-x^2 + 20x - 100$ принимает неположительное значение, вынесем минус за скобки:

$-x^2 + 20x - 100 = -(x^2 - 20x + 100)$.

Выражение в скобках является формулой квадрата разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = (x - 10)^2$.

Следовательно, $-x^2 + 20x - 100 = -(x - 10)^2$.

Поскольку выражение $(x - 10)^2$ всегда неотрицательно ($(x - 10)^2 \ge 0$), то выражение $-(x - 10)^2$ будет всегда неположительным, то есть $-(x - 10)^2 \le 0$.

Ответ: Утверждение доказано.

г) Чтобы доказать, что трёхчлен $-2x^2 + 16x - 33$ принимает отрицательное значение, выделим в нём полный квадрат. Сначала вынесем за скобки коэффициент -2:

$-2x^2 + 16x - 33 = -2(x^2 - 8x) - 33$.

Для выделения полного квадрата в скобках добавим и вычтем $4^2 = 16$:

$-2(x^2 - 8x + 16 - 16) - 33 = -2((x - 4)^2 - 16) - 33 = -2(x - 4)^2 + 32 - 33 = -2(x - 4)^2 - 1$.

Выражение $(x - 4)^2$ всегда неотрицательно, $(x - 4)^2 \ge 0$. При умножении на -2, выражение $-2(x - 4)^2$ становится неположительным, то есть $-2(x - 4)^2 \le 0$. Его наибольшее значение равно 0 (при $x=4$).

Следовательно, наибольшее значение всего выражения $-2(x - 4)^2 - 1$ равно $0 - 1 = -1$.

Так как максимальное значение трёхчлена равно -1 (что является отрицательным числом), то выражение $-2x^2 + 16x - 33$ всегда принимает отрицательные значения.

Ответ: Утверждение доказано.

д) Чтобы доказать, что трёхчлен $x^2 - 0,32x + 0,0256$ принимает неотрицательное значение, проверим, не является ли он полным квадратом.

Используем формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=x$. Тогда $b^2 = 0,0256$, откуда $b = \sqrt{0,0256} = 0,16$.

Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 0,16 = 0,32x$. Это совпадает с нашим выражением.

Следовательно, $x^2 - 0,32x + 0,0256 = (x - 0,16)^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(x - 0,16)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Ответ: Утверждение доказано.

е) Чтобы доказать, что трёхчлен $4x^2 + 0,8x + 2$ принимает положительное значение, выделим полный квадрат.

$4x^2 = (2x)^2$. Представим средний член как $0,8x = 2 \cdot (2x) \cdot 0,2$. Для полного квадрата нам понадобится $(0,2)^2 = 0,04$.

Выполним преобразование:

$4x^2 + 0,8x + 2 = (4x^2 + 0,8x + 0,04) - 0,04 + 2 = (2x + 0,2)^2 + 1,96$.

Выражение $(2x + 0,2)^2$ всегда неотрицательно, $(2x + 0,2)^2 \ge 0$.

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $(2x + 0,2)^2 + 1,96$ достигается при $(2x+0,2)^2=0$ и равно $0 + 1,96 = 1,96$.

Поскольку наименьшее значение трёхчлена равно 1,96 (что является положительным числом), то выражение $4x^2 + 0,8x + 2$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Утверждение доказано.

1) Для доказательства всех этих утверждений необходимо выполнить преобразование, которое называется выделением полного квадрата. Суть этого метода заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ в виде $a(x-h)^2 + k$.

Эта форма удобна тем, что знак всего выражения легко определить, зная знаки $a$ и $k$, поскольку выражение $(x-h)^2$ всегда неотрицательно (то есть $(x-h)^2 \ge 0$).

• Если $a > 0$, то парабола $y = a(x-h)^2 + k$ имеет ветви, направленные вверх, и её наименьшее значение равно $k$. Если $k > 0$, трёхчлен всегда положителен. Если $k = 0$, трёхчлен неотрицателен.
• Если $a < 0$, то парабола имеет ветви, направленные вниз, и её наибольшее значение равно $k$. Если $k < 0$, трёхчлен всегда отрицателен. Если $k = 0$, трёхчлен неположителен.

В некоторых из приведённых заданий (б, в, д) трёхчлен после вынесения общего множителя сразу оказывается полным квадратом, что является частным случаем этого метода при $k=0$.

610. Даны квадратные трёхчлены

x² – 6x + 11 и –x² + 6x – 11.

Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

$$\begin{gathered} x^2-6x+11=x^2-2·3x+3^2-3^2+11= \\ ={(x-3)}^2-9+11={(x-3)}^2+2>0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} -x^2+6x-11=-(x^2-6x+11)= \\ =-(x^2-2·3x+3^2-3^2+11)=-({(x-3)}^2+2)<0 \end{gathered}$$

Для доказательства утверждений для каждого из квадратных трёхчленов мы используем метод выделения полного квадрата. Этот метод позволяет найти экстремум (наименьшее или наибольшее значение) квадратичной функции и определить знак её значений.

Доказательство для трёхчлена $x^2 - 6x + 11$

Рассмотрим первый квадратный трёхчлен $y = x^2 - 6x + 11$. Наша задача — доказать, что $y \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Для этого преобразуем выражение, выделив в нём полный квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении $x^2 - 6x$ можно представить как $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат $(x-3)^2$, необходимо добавить $3^2=9$. Мы добавим и сразу же вычтем 9, чтобы не изменить исходное выражение:

$x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 11$

Теперь сгруппируем первые три слагаемых в полный квадрат и выполним вычисление:

$(x^2 - 6x + 9) + 2 = (x-3)^2 + 2$

Проанализируем полученное выражение $(x-3)^2 + 2$.

Выражение $(x-3)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Следовательно, наименьшее значение, которое может принять $(x-3)^2$, равно 0 (при $x=3$).

Тогда наименьшее значение всего выражения $(x-3)^2 + 2$ будет равно $0 + 2 = 2$.

Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $x^2 - 6x + 11 \ge 2$. Так как $2 > 0$, значения этого трёхчлена всегда положительны, а значит, он не может принимать отрицательных значений.

Ответ: Трёхчлен $x^2 - 6x + 11$ можно представить в виде $(x-3)^2 + 2$. Поскольку $(x-3)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2 - 6x + 11 \ge 2$. Следовательно, этот трёхчлен не принимает отрицательных значений.

Доказательство для трёхчлена $-x^2 + 6x - 11$

Рассмотрим второй квадратный трёхчлен $y = -x^2 + 6x - 11$. Наша задача — доказать, что $y \le 0$ для любого действительного значения $x$. Проведём преобразование, аналогичное первому случаю. Сначала вынесем $-1$ за скобки:

$-x^2 + 6x - 11 = -(x^2 - 6x + 11)$

Мы уже знаем из первого пункта, что выражение в скобках можно представить в виде $(x-3)^2 + 2$. Подставим это в наше выражение:

$-(x^2 - 6x + 11) = -((x-3)^2 + 2) = -(x-3)^2 - 2$

Проанализируем полученное выражение $-(x-3)^2 - 2$.

Как мы установили, $(x-3)^2 \ge 0$. При умножении неравенства на $-1$, его знак меняется на противоположный, поэтому $-(x-3)^2 \le 0$.

Следовательно, наибольшее значение, которое может принять $-(x-3)^2$, равно 0 (при $x=3$).

Тогда наибольшее значение всего выражения $-(x-3)^2 - 2$ будет равно $0 - 2 = -2$.

Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $-x^2 + 6x - 11 \le -2$. Так как $-2 < 0$, значения этого трёхчлена всегда отрицательны, а значит, он не может принимать положительных значений.

Ответ: Трёхчлен $-x^2 + 6x - 11$ можно представить в виде $-(x-3)^2 - 2$. Поскольку $-(x-3)^2 \le 0$ для любого $x$, то $-x^2 + 6x - 11 \le -2$. Следовательно, этот трёхчлен не принимает положительных значений.

611. При каком значении x трёхчлен 2x² – 4x + 6 принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} 2x^2-4x+6=2(x^2-2x+3)= \\ =2(x^2-2·1·x+1-1+3)= \\ =2({(x-1)}^2+2)=2{(x-1)}^2+4 \end{gathered}$$

При x=1 трёхчлен принимает наименьшее значение $2·{(1-1)}^2+4=4$

Ответ: при x=1; значение равно 4

Чтобы найти, при каком значении $x$ трёхчлен $2x^2 - 4x + 6$ принимает наименьшее значение, и найти само это значение, рассмотрим данный трёхчлен как квадратичную функцию $y = 2x^2 - 4x + 6$.

Графиком этой функции является парабола. Коэффициент при $x^2$, равный $a=2$, является положительным ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение, которое достигается в вершине параболы. Наша задача — найти координаты вершины $(x_0, y_0)$.

При каком значении x трёхчлен $2x^2 - 4x + 6$ принимает наименьшее значение?

Значение $x$, при котором функция достигает своего минимума, — это абсцисса (координата x) вершины параболы. Она вычисляется по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае коэффициенты трёхчлена $2x^2 - 4x + 6$ равны: $a = 2$, $b = -4$, $c = 6$.

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = -\frac{-4}{4} = 1$

Ответ: при $x=1$.

Найдите это значение.

Наименьшее значение трёхчлена — это ордината (координата y) вершины параболы. Чтобы найти её, нужно подставить найденное значение $x_0 = 1$ в исходное выражение: $y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 6 = 2 \cdot 1 - 4 + 6 = 2 - 4 + 6 = 4$.

Также это значение можно найти методом выделения полного квадрата: $2x^2 - 4x + 6 = 2(x^2 - 2x) + 6 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 6 = 2(x-1)^2 - 2 + 6 = 2(x-1)^2 + 4$. Выражение $(x-1)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-1)^2 \ge 0$), и его наименьшее значение равно 0 (достигается при $x=1$). Следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $2 \cdot 0 + 4 = 4$.

Ответ: 4.

612. Дан квадратный трёхчлен 13x² + 2x + 4. Выясните, при каком значении x он принимает наименьшее значение и чему равно это значение трёхчлена.

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}{x}^2+2x+4=\frac{1}{3}(x^2+6x+12)= \\ =\frac{1}{3}(x^2+2·3x+3^2-3^2+12)= \\ =\frac{1}{3}({(x+3)}^2+3)={(x+3)}^2+1 \end{gathered}$$

При x=-3 трёхчлен принимает наименьшее значение ${(-3+3)}^2+1=1$

Ответ: при x=-3; значение равно 1

Данный квадратный трёхчлен $ \frac{1}{3}x^2 + 2x + 4 $ является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$. Графиком такой функции является парабола.

Коэффициенты трёхчлена: $a = \frac{1}{3}$, $b = 2$, $c = 4$.

Поскольку старший коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума, и в этой точке она принимает своё наименьшее значение. Точка минимума — это вершина параболы.

Для решения задачи найдём координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

При каком значении x трёхчлен принимает наименьшее значение

Значение $x$, при котором достигается минимум, — это абсцисса вершины параболы $x_0$, которая вычисляется по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Подставляем значения коэффициентов $a = \frac{1}{3}$ и $b = 2$:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -\frac{2}{\frac{2}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{2} = -3$.

Следовательно, трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = -3$.

Чему равно это значение трёхчлена

Наименьшее значение трёхчлена — это ордината вершины параболы $y_0$. Для её нахождения подставим найденное значение $x_0 = -3$ в исходное выражение:

$y_0 = \frac{1}{3}(-3)^2 + 2(-3) + 4 = \frac{1}{3} \cdot 9 - 6 + 4 = 3 - 6 + 4 = 1$.

Следовательно, наименьшее значение трёхчлена равно 1.

Ответ: трёхчлен принимает наименьшее значение при $x = -3$, и это значение равно 1.

613. (Задача-исследование.) Выясните, какой из прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 6 см, имеет наибольшую площадь. Вычислите эту площадь.

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Пусть x см - длина одного катета, тогда (6-x)см - длина второго катета. Площадь треугольника вычислим по формуле:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}x(6-x)=\frac{1}{2}(6x-x^2)=-\frac{1}{2}(x^2-6x)= \\ =-\frac{1}{2}(x^2-2·3x+3^2-3^2)=-\frac{1}{2}({(x-3)}^2-9)= \\ =-\frac{1}{2}{(x-3)}^2+\frac{9}{2} \end{gathered}$$

При x=3 площадь принимает наибольшее значение равное $\frac{9}{2}=4,5$

Если x=3см - длина одного катета, тогда 6-3=3(см) - длина второго катета.

$S_{∆}=\frac{1}{2}·3·3=\frac{9}{2}=4,5\left({\text{см}}^2\right)$

Ответ: прямоугольный треугольник с катетами 3см и 3см имеет наибольшую площадь, равную 4,5см²

1) Обозначьте длину одного из катетов через x см и составьте выражение для вычисления площади треугольника.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен $x$ см. По условию, сумма длин катетов равна 6 см, следовательно, длина второго катета будет равна $(6 - x)$ см. Так как длина стороны треугольника должна быть положительным числом, то $x > 0$ и $6 - x > 0$, откуда следует, что $0 < x < 6$.
Площадь $S$ прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Составим выражение для площади $S$ как функцию от переменной $x$:
$S(x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (6 - x)$.
Раскрыв скобки, получим: $S(x) = 3x - \frac{1}{2}x^2$.
Ответ: $S(x) = \frac{1}{2}x(6 - x)$.

2) Исследуйте, при каких значениях переменной составленное выражение принимает наибольшее значение.

Функция площади $S(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3x$ является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($a = -\frac{1}{2} < 0$).
Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Координату $x_0$ вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находим по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$ и $b = 3$.
$x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{3}{-1} = 3$.
Это значение $x=3$ входит в область допустимых значений $0 < x < 6$. При $x=3$ см длина одного катета равна 3 см, и длина второго катета также равна $6 - 3 = 3$ см. Таким образом, наибольшую площадь имеет равнобедренный прямоугольный треугольник.
Ответ: Выражение принимает наибольшее значение при $x = 3$.

3) Вычислите, чему равно значение площади треугольника при указанных значениях переменной.

Для вычисления наибольшего значения площади подставим найденное значение $x=3$ в наше выражение для площади:
$S(3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (6 - 3) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$.
Таким образом, наибольшая площадь, которую может иметь прямоугольный треугольник с суммой катетов 6 см, составляет 4,5 см$^2$.
Ответ: Наибольшее значение площади треугольника равно 4,5 см$^2$.