Страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Дискриминантом квадратного уравнения называют выражение
$b^2-4ac$. Его обозначают буквой D, т.е. $D=b^2-4ac$
Если D>O, то уравнение имеет два корня;
Если D=O, то уравнение имеет один корень;
Если D<O, то уравнение не имеет корней.

Что называют дискриминантом квадратного уравнения?

Квадратным уравнением называют уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$, и $c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём $a \neq 0$.

Дискриминантом этого уравнения (от лат. discriminans — «различающий») называют выражение, которое составляется из его коэффициентов и используется для нахождения корней, а также для определения их количества и типа. Дискриминант принято обозначать заглавной латинской буквой $D$.

Формула для вычисления дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac$

Ответ: Дискриминантом квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ называют значение, вычисляемое по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Число действительных корней квадратного уравнения полностью определяется знаком его дискриминанта $D$. Существует три возможных варианта:

1. Если дискриминант положителен ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Их можно найти по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

2. Если дискриминант равен нулю ($D = 0$), уравнение имеет один действительный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Его можно найти по упрощенной формуле:
$x = -\frac{b}{2a}$

3. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это происходит потому, что в области действительных чисел невозможно вычислить квадратный корень из отрицательного числа.

Ответ: В зависимости от значения дискриминанта, квадратное уравнение может иметь два различных действительных корня, один действительный корень, либо не иметь действительных корней.

2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Если уравнение имеет два корня, то формула корней квадратного уравнения имеет вид:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}, \text{где} D=b^2-4ac$
Если уравнение имеет один корень, то формула его корня имеет вид:
$x=-\frac{b}{2a}$

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Для нахождения корней (решений) этого уравнения используется специальная формула, которая зависит от значения дискриминанта. Дискриминант обозначается буквой $D$ и вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Значение дискриминанта определяет количество действительных корней у уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Сама формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Рассмотрим каждый случай в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если $D > 0$ (два различных корня):

Корни вычисляются по формулам:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

2. Если $D = 0$ (один корень):

Так как $\sqrt{D} = \sqrt{0} = 0$, формула упрощается, и оба корня совпадают:

$x = \frac{-b}{2a}$

3. Если $D < 0$ (нет действительных корней):

В области действительных чисел извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно, поэтому говорят, что уравнение не имеет решений (корней) на множестве действительных чисел.

Существует также частный случай формулы для уравнений, в которых второй коэффициент $b$ является четным числом, то есть $b = 2k$. В этом случае для вычислений удобнее использовать формулу с "сокращенным" дискриминантом $D_1$ (или $D/4$):

$D_1 = k^2 - ac = (\frac{b}{2})^2 - ac$

Тогда формула для корней принимает вид:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - ac}}{a}$

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Эта формула применима при условии, что дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным числом ($D \ge 0$).

3. Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является чётным числом.

$x=\frac{-k\pm \sqrt{D_1}}{a}, \text{где} D_1=k^2-ac$

Стандартное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ – коэффициенты, и $a \neq 0$.

Корни этого уравнения обычно находятся по общей формуле через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В задаче требуется найти формулу для частного случая, когда второй коэффициент $b$ является чётным числом. Если $b$ — чётное, его можно представить в виде $b = 2k$, где $k$ — целое число, равное половине $b$, то есть $k = \frac{b}{2}$.

Теперь подставим $b = 2k$ в общую формулу корней и упростим её.

Вывод формулы для квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом

1. Заменяем $b$ на $2k$ в стандартной формуле:
$x_{1,2} = \frac{-(2k) \pm \sqrt{(2k)^2 - 4ac}}{2a}$

2. Упрощаем выражение под корнем:
$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a}$

3. Выносим общий множитель 4 из-под знака корня:
$x_{1,2} = \frac{-2k \pm \sqrt{4(k^2 - ac)}}{2a} = \frac{-2k \pm 2\sqrt{k^2 - ac}}{2a}$

4. В числителе выносим общий множитель 2 за скобки и сокращаем его со знаменателем:
$x_{1,2} = \frac{2(-k \pm \sqrt{k^2 - ac})}{2a} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Полученная формула удобна для вычислений, так как оперирует с меньшими числами. Выражение под корнем $D_1 = k^2 - ac$ часто называют "упрощённым дискриминантом" или "четвертью дискриминанта", поскольку $D_1 = \frac{D}{4} = \frac{b^2 - 4ac}{4} = (\frac{b}{2})^2 - ac = k^2 - ac$.

Ответ:
Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором второй коэффициент $b$ является чётным числом, формула корней имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$, где $k = \frac{b}{2}$.

4. Сформулируйте и докажите теорему Виета. Чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0?

Теорема Виета:

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение. Обозначим второй коэффициент буквой р, а свободный член буквой q:

$x^2+px+q=0$

Дискриминант этого уравнения D равен ${р}^2-4q.$
Пусть D>О. Тогда это уравнение имеет два корня:

$x_1=\frac{-p-\sqrt{D}}{2} \text{и} x_2=\frac{-p+\sqrt{D}}{2}.$

Найдём сумму и произведение корней:
$$\begin{gathered} x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}+\frac{-p+\sqrt{D}}{2}=\frac{-2p}{2}=-p \\ {x}_1·x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}·\frac{-p+\sqrt{D}}{2}= \\ =\frac{{(-p)}^2-{\left(\sqrt{D}\right)}^2}{4}=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\frac{4q}{4}=q \end{gathered}$$

Итак, $x_1+x_2=-p, x_1·x_2=q$

Теорема доказана.

$$\begin{gathered} a{x}^2+bx+c=0 \\ {x}_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1{x}_2=\frac{c}{a} \end{gathered}$$

Формулировка теоремы Виета

Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Теорему принято формулировать для двух случаев: для приведенного и для полного квадратного уравнения.

Для приведенного квадратного уравнения:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ равна его второму коэффициенту ($p$), взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену ($q$). Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то справедливы следующие равенства:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

Для полного (общего) квадратного уравнения:

Сумма корней полного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \ne 0$) равна отношению коэффициента $b$ к коэффициенту $a$, взятому со знаком минус. Произведение корней равно отношению свободного члена $c$ к коэффициенту $a$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эта теорема верна в случае, если квадратное уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант $D = b^2 - 4ac \ge 0$.

Ответ: Если $x_1$ и $x_2$ — корни приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, то их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = q$. Для общего случая $ax^2 + bx + c = 0$, сумма корней $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему для общего случая — полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при $a \ne 0$). Пусть данное уравнение имеет корни $x_1$ и $x_2$.

Любой квадратный трехчлен, имеющий корни, может быть разложен на множители. Таким образом, мы можем записать следующее тождество:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Теперь раскроем скобки в правой части этого тождества:

$a(x - x_1)(x - x_2) = a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2) = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)$

Распределим множитель $a$ по членам в скобках:

$a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2) = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$

Мы получили тождественное равенство двух многочленов:

$ax^2 + bx + c = ax^2 - a(x_1 + x_2)x + a x_1 x_2$

Два многочлена тождественно равны, если равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной $x$. Приравнивая коэффициенты при $x$ и свободные члены, получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} b = -a(x_1 + x_2) \\ c = a x_1 x_2 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим сумму корней. Для этого разделим обе его части на $-a$ (это возможно, так как $a \ne 0$):

$x_1 + x_2 = \frac{b}{-a} = -\frac{b}{a}$

Из второго уравнения системы выразим произведение корней, разделив обе его части на $a$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Таким образом, теорема Виета доказана.

Ответ: Доказательство основано на тождественном разложении квадратного трехчлена на множители $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ и последующем приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях переменной $x$ в левой и правой частях полученного тождества.

Сумма и произведение корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$

Для полного квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$, и при условии, что оно имеет корни (обозначим их $x_1$ и $x_2$), сумма и произведение этих корней выражаются через коэффициенты уравнения $a, b, c$ следующим образом:

1. Сумма корней:

Сумма корней равна отношению коэффициента при $x$ ($b$) к старшему коэффициенту ($a$), взятому с противоположным знаком.

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

2. Произведение корней:

Произведение корней равно отношению свободного члена ($c$) к старшему коэффициенту ($a$).

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Эти формулы являются непосредственным результатом теоремы Виета, доказанной выше.

Ответ: Сумма корней уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равна $-\frac{b}{a}$, а их произведение равно $\frac{c}{a}$.

5. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Виета.

Теорема, обратная теореме Виета:

Если числа m и n таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения $x^2+px+q=0.$

По условию m+n=-p, а mn=q. Значит, уравнение $x^2+px+q=0$ можно записать в виде
$x^2-(m+n)x+mn=0.$

Подставив в это уравнение вместо переменной х число m, получим
$m^2-(m+n)m+mn=m^2-m^2-mn+mn=0$

Значит, число m является корнем уравнения.
Аналогично можно показать, что число n также является корнем уравнения.

Формулировка теоремы, обратной теореме Виета

Если числа $x_1$ и $x_2$ таковы, что их сумма $x_1 + x_2 = -p$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = q$, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

Доказательство

По условию теоремы, для чисел $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие равенства:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

Подставим эти выражения для коэффициентов $p$ и $q$ в левую часть уравнения $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 + (-(x_1 + x_2))x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$

Теперь преобразуем полученное выражение, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые, чтобы разложить многочлен на множители:

$x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 = (x^2 - x_1x) - (x_2x - x_1x_2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x - x_1) - x_2(x - x_1)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - x_1)$:

$(x - x_1)(x - x_2)$

Таким образом, исходное уравнение $x^2 + px + q = 0$ эквивалентно уравнению:

$(x - x_1)(x - x_2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, корнями этого уравнения являются значения $x$, при которых $x - x_1 = 0$ или $x - x_2 = 0$.

Отсюда получаем, что $x = x_1$ и $x = x_2$ являются корнями данного уравнения.

Теорема доказана.

Ответ: Утверждение доказано. Если существуют числа $x_1$ и $x_2$, сумма которых равна второму коэффициенту квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$, взятому с противоположным знаком ($-p$), а их произведение равно свободному члену ($q$), то эти числа являются корнями данного уравнения.