Номер 2, страница 137 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 7. Квадратное уравнение и его корни. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 2, страница 137.

2. Напишите формулу корней квадратного уравнения.

Если уравнение имеет два корня, то формула корней квадратного уравнения имеет вид:
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}, \text{где} D=b^2-4ac$
Если уравнение имеет один корень, то формула его корня имеет вид:
$x=-\frac{b}{2a}$

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \neq 0$).

Для нахождения корней (решений) этого уравнения используется специальная формула, которая зависит от значения дискриминанта. Дискриминант обозначается буквой $D$ и вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

Значение дискриминанта определяет количество действительных корней у уравнения:

• Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Сама формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит следующим образом:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Рассмотрим каждый случай в зависимости от значения дискриминанта:

1. Если $D > 0$ (два различных корня):

Корни вычисляются по формулам:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$

2. Если $D = 0$ (один корень):

Так как $\sqrt{D} = \sqrt{0} = 0$, формула упрощается, и оба корня совпадают:

$x = \frac{-b}{2a}$

3. Если $D < 0$ (нет действительных корней):

В области действительных чисел извлечь квадратный корень из отрицательного числа невозможно, поэтому говорят, что уравнение не имеет решений (корней) на множестве действительных чисел.

Существует также частный случай формулы для уравнений, в которых второй коэффициент $b$ является четным числом, то есть $b = 2k$. В этом случае для вычислений удобнее использовать формулу с "сокращенным" дискриминантом $D_1$ (или $D/4$):

$D_1 = k^2 - ac = (\frac{b}{2})^2 - ac$

Тогда формула для корней принимает вид:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{(\frac{b}{2})^2 - ac}}{a}$

Ответ: Формула корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ имеет вид: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Эта формула применима при условии, что дискриминант $D = b^2 - 4ac$ является неотрицательным числом ($D \ge 0$).